On the Biharmonic Curves in the Special Linear Group $${{\mathbf{SL}}{\bf (2},{\mathbb{R}}{\bf )}}$$ SL ( 2 , R )

Onnis, Irene I.; Passamani, Apoenã Passos

doi:10.1007/s00009-014-0474-2

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“…Os resultados deste estudo foram estão presentes no artigo [56]. Primeiramente demonstramos que as curvas bi-harmônicas de (SL(2, R), g τ ) fazem um ângulo constante ϑ com o campo de vetores tangente à fibração de Hopf (ver Seção 1.2).…”

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Geometria de curvas e subvariedades bi-harmônicas

Passamani¹

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A Deus, por seu cuidado me dando saúde e forças para concluir essa etapa de minha vida e também por ter colocado pessoas tão especias nesta minha caminhada. Agradeço a Deus também pelas oportunidades de crescimento e aprendizagem das quais este doutorado faz parte.À minha amada família que sempre me apoiou e me deu muitas felicidades e orgulho. Em particular ao meu pai, que acumula as funções de melhor amigo e conselheiro, e à minha mãe guerreira e grande exemplo de perseverança. Quero também citar meus avós Carlos, Guaraci, Leonilde e Zilda, por sua grande influência positiva em minha educação. E não posso deixar de agradecer às minhas irmãs Tainah, Taiana e Fernanda, por serem amigas e grande motivo de felicidade que me incentiva diariamente.À minha namorada Ginnara, que me apoiou, foi compreensiva e me ajudou no dia a dia desta conquista.Aos meus amigos, todos com sua importância, que foram fundamentais nesta etapa de minha vida longe de minha família, muitas vezes tendo feito as vezes desta. Em especial a Alcebíades, Alex, Natália, Andreza, Mayron, Bruna, Camila, Flávio, Nelson, dona Wilma e Sr. Luís, Northon, Patrícia, Thaís Maria, Rafael Borro, Alexandra, Rafael Morais, Vinícius.iii iv À minha orientadora profa. Irene Ignazia Onnis por ter sido atenciosa, dedicada e incentivadora.Ao professor Stefano Montaldo por ter me recebido de forma calorosa em meu estágio na Itália e ter se dedicado na coorientação de minha tese.Por fim, agradeço a Capes pelo suporte financeiro. ResumoNeste trabalho estudamos essencialmente problemas relacionados aos conceitos de superfícies e curvas bi-harmônicas e de superfícies de ângulo constante.Caracterizamos as curva bi-harmônicas do grupo especial linear SL(2, R). Em particular, mostramos que todas as curvas bi-harmônicas de SL(2, R) são hélices e damos suas parametrizações explícitas como curvas do espaço pseudo-Euclidiano R 4 2 .Estudamos as superfícies biconservativas (as quais representam uma grande famí-lia que inclui as superfícies bi-harmônicas) nos espaços de Bianchi-Cartan-Vranceanu, obtendo a caracterização daquelas de ângulo constante e daquelas SO(2)-invariantes.Também, caracterizamos as superfícies de ângulo constante do espaço Euclidiano tridimensional que possuem aplicação de Gauss bi-harmônica, provando que são cilindros de Hopf sobre uma clotóide.Além disto, caracterizamos as superfícies de ângulo contante de SL(2, R). Mais especificamente, damos uma descrição local explícita para estas superfícies em termos de uma determinada curva de SL(2, R) e de uma família a um parâmetro de isometrias do espaço ambiente. v vi Palavras chave: imersões bi-harmônicas, imersões biconservativas, superfícies com aplicação de Gauss bi-harmônica, superfícies de ângulo constante. AbstractIn this work we mainly study some problems related to the concept of biharmonic curves and surfaces and to surfaces of constant angle.We characterize the biharmonic curves in the special linear group SL(2, R). In particular, we show that all proper biharmonic curves in SL(2, R) are helices and we...

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