On the Chaplygin system on the sphere with velocity dependent potential

Abstract

a b s t r a c tWe discuss how to get variables of separation, separated relations and the Lax matrix for the Chaplygin system on the sphere with velocity dependent potential starting with the Lax matrix for other integrable system separable in elliptic coordinates on the sphere.

On an integrable system on a plane with an integral of motion of sixth order in momenta

“…(2.6) в терминах переменных u 1,2 , p 1,2 не является кано-нической. Поэтому, в отличие от систем на плоскости и сфере, которые были рассмотрены в работах [4,6,[9][10][11], нам необходимо построить новые канонические переменные разделе-ния. Для этого достаточно просто заменить p u k на произведение u 2 k p u k , то есть использовать пуассоново отображение…”

“…Для систем с двумя степенями свободы на плоскости и сфере известно некоторое со-ответствие между интегрируемыми гамильтоновыми системами с квадратичными интегра-лами движения и интегрируемыми системами с интегралами движения старших степеней, которое в работах [4,6,[9][10][11] было названо гетеропреобразованием Бэклунда. Таким обра-зом, например, связаны все три интегрируемых случая системы Эно -Хейлеса, три интегри-руемых случая системы на плоскости с потенциалом четвертой степени, система Неймана с системой Чаплыгина на сфере и т. д.…”

On an integrable system on the plane with velocity-dependent potential

“…Следуя [11,12] Алгебро-геометрическая природа построения таких возмущений пока неизвестна, поэтому мы не будем подробно обсуждать эти интегрируемые возмущения в рамках данной статьи.…”

“…В работах [9,11,12] построены новые интегрируемые системы с двумя степенями свобо-ды и интегралами движения второй и четвертой степени по импульсам, для которых потен-циал, входящий в гамильтониан, линейно зависит от скорости. Для построения этих систем использовались преобразования Бэклунда [10] уравнений Гамильтона -Якоби, которые до-пускают разделение переменных в параболических координатах на плоскости и эллиптиче-ских координатах на сфере.…”

“…В данной работе используется алгоритм построения преобразований Бэклунда, опи-санный в работе [14]. В отличие от работ [9,11,12], для построения искомых переменных разделения мы вместо матриц Лакса будем использовать дифференциальные уравнения Абеля и их свойства.…”