On the class of potentials with trivial monodromy

Abstract

Рассматривается задача описания класса T M (Ω, A) потенциалов, мероморфных в односвязной области Ω, с множеством полюсов A, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии: любое решение соответствующего уравнения Штурма-Лиувилля при всех значениях спектрального параметра не имеет точек ветвления ни в одной точке A. Показано, что в случае конечного A линейное (относительно обычного сложения) пространство T M (Ω, A) имеет конечную размерность по модулю подпространства T M 0 (Ω, A) функций, голоморфных в Ω и имеющих в точках нули заданной кратности (своей для каждой точки). Тем самым при конечном A получено полное описание T M (Ω, A, M) в терминах любого конечного набора функций-решений интерполяционной задачи с кратными узлами в точках множества A. Полученный результат обобщает известные результаты о классах потенциалов с тривиальной монодромией на всей плоскости, убывающих на бесконечности (J.J. Duistermaat, F.A. Grünbaum) или растущих не быстрее второй (А.А. Обломков) либо шестой (J. Gibbons, A.P. Veselov) степени. В случае, когда множество A счетно и имеет единственную предельную точку, построен достаточно широкий класс функций, удовлетворяющих условию тривиальной монодромии. Ключевые слова: спектральная неустойчивость, локализация спектра, уравнение Штурма-Лиувилля, тривиальная монодромия.