On the determination of the weights in multi-dimensional numerical quadrature

Abstract

Abstract-ZusammenfassungOn the Determination of the Weights in Multi-Dimensional Numerical Quadrature. Using the concept of the generalized inverse of a bounded linear transformation between R n and 12, a method is given for constructing quadrature rules for integration over an arbitrary bounded m-dimensional region B c R m with the property that the average error over the prescribed family F of the functions continuous in B as well as the variance of the rounding errors according to Sard 18] are minimal. Then we specialize F to the weighted monomials and treat as an example integration on the surface of the m-sphere. Zur Bestlmmung der Gewichte bei mehrdimensionaler numerischer Integration. MitHilfe der Pseudoinversen eines beschr~inkten linearen Operators von R n in 12 wird eine Methode zur Konstruktion von Quadraturformeln fiir die Integration fiber einem beliebigen beschrankten m-dimensionalen Gebiet B c R" hergeleitet, mit der Eigenschaft, dag der mittlere Fehler in einer vorgeschdebenen Familie F sowie die Varianz der Rundungsfehler gem~ig Sard I-8] minimal werden. Sodann w~ihlen wir F als gewichtete Monome und behandeln als Beispiel Integration auf der Oberlt~iche der m-Kugel.