On the dynamics of non-linear Schrödinger systems with quadratic-type interactions

Abstract

Nesta tese, analisamos a dinâmica de um sistema acoplado de equações de Schrödinger com iterações de crescimento do tipo quadrático nos espaços L 2 , H 1 e L 2 com peso. Impondo certas condições sobre as não linearidades e os parâmetros do sistema, apresentamos alguns resultados. Primeiro aplicamos o princípio de contração e mostramos a existência de soluções locais. Em seguida, usando as quantidades conservadas, obtemos estimativas a priori que nos permitem estender as soluções globalmente no tempo. Além disso, fazendo uso da abordagem variacional, provamos a existência de soluções ground state para o sistema elíptico associado ao sistema de evolução. Posteriormente, usamos as soluções ground state e estabelecemos um critério sharp para a existência de soluções globais e de soluções com blow-up em tempo finito. Por fim, realizamos o estudo da estabilidade das soluções ground state. Usando o princípio de concentração-compacidade mostramos que para 1 ď n ď 3 as soluções são estáveis. Por sua vez, usando soluções blow-up provamos a instabilidade para n " 4 e n " 5. Finalmente, consideramos o caso não ressonante e determinamos quais dos resultados previos ainda continuam válidos sob esta condição. Além disso, provamos um resultado de blow-up para soluções do sistema em dimensão n " 5, quando o dado inicial é considerado radial.Palavras-chave: Sistema de equações de Schrödinger; Interações de crescimento do tipo quadrático; Boa colocação; Ondas estacionárias; Blow-up; Estabilidade; Instabilidade.