On the Galois group over $\mathbb Q$ of a truncated binomial expansion

Abstract

Pour tout nombre entier positif n, les extensions binomiales tronquées de (1 + x) n constitutées de tous les termes de degré ≤ r où 1 ≤ r ≤ n − 2 semblent toujoursêtre irréductibles. Pour r fixe et n suffisamment grand, ce résultat est connu. Nous montrons ici que, pour un nombre entier positif fixe r = 6 et n suffisamment grand, le groupe Galois d'un tel polynôme sur les nombres rationnels est le groupe symétrique S r . Pour r = 6, nous montrons que le nombre de n ≤ N exceptionnels pour lesquels le groupe Galois de ce polynôme n'est pas S r est au plus O(log N).ABSTRACT: For positive integers n, the truncated binomial expansions of (1 + x) n which consist of all the terms of degree ≤ r where 1 ≤ r ≤ n − 2 appear always to be irreducible. For fixed r and n sufficiently large, this is known to be the case. We show here that for a fixed positive integer r = 6 and n sufficiently large, the Galois group of such a polynomial over the rationals is the symmetric group S r . For r = 6, we show the number of exceptional n ≤ N for which the Galois group of this polynomial is not S r is at most O(log N).