On the Irrationality of ∑tnAαn+Bβn

Prévost, Marc

doi:10.1006/jnth.1998.2304

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“…where δ 1 > 0 (and all δ i later in this section) is independent of N and k. This, (15) and…”

Section: Proof Of Theoremmentioning

confidence: 81%

“…A few years later, K. Väänänen and the present author [5] obtained, inter alia, a quantitative version of André-Jeannin's irrationality result on ∞ n=1 z n /F n , z ∈ {1, −1}, using a quantitative generalization of Nesterenko's method for linear independence. Next, Prévost [15] extended these qualitative and quantitative irrationality results to any non-zero rational point z in the domain of meromorphy of the function originally defined by the power series only in its disk of convergence. In fact, his approach to analyze the Padé approximants to the series ∞ n=1 z n /R n , where the sequence (R n ) n∈N satisfies a second order recurrence relation, led to similar results in the case, where the rational field is replaced by any imaginary quadratic number field.…”

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 99%

“…More precisely, the proof goes only through since 0 = |D • J| = O(|q| −δN ) can be saved with some δ > 0 (in fact, with δ = 1, compare ( 21)) leading to the denominator condition in Theorem 1. This is noteworthy since, in most other arithmetical proofs in the q-'business', the contradictions are obtained by comparing the constant factors of N 2 in the exponents of |q| (see, e.g., [3], [4], [5], [12][13], [15]).…”

Section: Lemma 1 All Numbersmentioning

confidence: 99%

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Arithmetical investigations of particular Wynn power series

Bundschuh

2008

Hardy-Ramanujan Journal

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International audience Using Borwein's simple analytic method for the irrationality of the $q$-logarithm at rational points, we prove a quite general result on arithmetic properties of certain series, where the entering parameters are algebraic numbers. More precisely, our main result says that $\sum_{k\ge1}\beta^k/(1-\alpha q^k)$ is not in $\mathbb{Q}(q)$, if $q$ is an algebraic integer with all its conjugates (if any) in the open unit disc, if $\alpha\in\mathbb{Q}(q)^\times\setminus\{q^{-1},q^{-2},\ldots\}$ satisfies a mild denominator condition (implying $|q|>1$), and if $\beta$ is a unit in $\mathbb{Q}(q)$ with $|\beta|\le1$ but no other conjugates in the open unit disc. Our applications concern meromorphic functions defined in $|z|<|u|^{a\ell}$ by power series $\sum_{n\ge1}z^n/(\prod_{0\le\lambda<\ell}R_{a(n+\lambda)+b})$, where $R_m:=gu^m+hv^m$ with non-zero $u,v,g,h$ satisfying $|u|>|v|, R_m\ne0$ for any $m\ge1$, and $a,b+1,\ell$ are positive rational integers. Clearly, the case where $R_m$ are the Fibonacci or Lucas numbers is of particular interest. It should be noted that power series of the above type were first studied by Wynn from the analytical point of view.

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“…where δ 1 > 0 (and all δ i later in this section) is independent of N and k. This, (15) and…”

Section: Proof Of Theoremmentioning

confidence: 81%

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 99%

Section: Lemma 1 All Numbersmentioning

confidence: 99%

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Arithmetical investigations of particular Wynn power series

Bundschuh

2008

Hardy-Ramanujan Journal

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“…Here we may suppose without a loss of generality that |α| > |β| and hence F n L n = 0 for all n ∈ Z + . André-Jeannin [1] proved the irrationality of the series (2) in the Fibonacci case, where a = b = 1, and soon after followed some irrationality measure considerations of the series (2) in the case a = 1, see [4,9,12,13]. However, not much is known about the arithmetic character of the series (2) with arbitrary parameters a, b except the transcendence coming from Nesterenko's method [6,10] for the numbers…”

Section: Introduction and Resultsmentioning

confidence: 98%

Quantitative irrationality for sums of reciprocals of Fibonacci and Lucas numbers

Matala-aho¹,

Prévost

2006

Ramanujan J

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“…All these results have been successively improved by Prévost [37] and Matala-Aho and Prévost [29]: For example, let…”

Section: Irrationality Resultsmentioning

confidence: 99%

Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

Stein¹,

Amou²,

Katsurada³

2011

AIP Conference Proceedings

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In dieser Arbeit untersuchen wir Werte der Fibonacci-Zetafunktion sowie dreier Varianten dieser Funktion für geradzahlige Argumente auf algebraische Unabhängigkeitüber dem Körper Q der rationalen Zahlen. Wir betrachten die unendliche Menge, die aus den Werten dieser vier Funktionen besteht, und geben eine vollständige Klassifikation ihrer Teilmengen inüber Q algebraisch unabhängige und abhängige Mengen an. Dabei bezeichnen wir in natürlicher Weise eine Menge als algebraisch unabhängig beziehungsweise abhängigüber Q, falls die Elemente dieser Menge diese Eigenschaft haben. Die Unabhängigkeitsergebnisse in dieser Arbeit basieren auf einem Satz von Nesterenko aus dem Jahre 1996über die Werte der Ramanujan Funktionen P , Q und R an algebraischen Stellen. Zur Anwendung kommt ferner ein Determinantenkriterium für algebraische Unabhängigkeit, das von Elsner, Shiokawa und Shimomura entwickelt wurde. Dieses Kriterium kam bereits in einer im Jahre 2011 erschienenen Publikation zur Anwendung, um erste allgemeine Resultate zur algebraischen Unabhängigkeit der in dieser Arbeit untersuchten Zahlen zu beweisen. Wir greifen die Methode von Elsner, Shiokawa und Shimomura auf und ergänzen ihre Ergebnisse. Als weiteres Hilfsmittel dienen Laurent-Reihenentwicklungen gewisser Jacobischer elliptischer Funktionen, die in engem Zusammenhang zu den von Ramanujan eingeführten q-Reihen stehen. Dabei werden Identitäten von Zucker (1979) verwendet. Die betrachteten Zetafunktionen lassen sich schließlich als Polynome in drei algebraisch unabhängigen Größen darstellen. Hier spielen vollständige elliptische Integrale eine wesentliche Rolle. Außerdem beweisen wir Ergebnisse zur linearen Abhängigkeit und Unabhängigkeitüber Q der in dieser Arbeit betrachteten Zahlen. Abschließend präsentieren wir quantitative Resultate. Wir beweisen ein Lemma, das es gestattet, das Maß für algebraische Unabhängigkeit von einer Zahlenmenge unter gewissen Abschwächungen auf eine andere Menge von Zahlen zuübertragen, wenn die beiden Mengen durch ein quadratisches System von Polynomen verbunden sind. Unter Verwendung eines quantitativen Ergebnisses von Nesterenko aus dem Jahre 1997 leiten wir ein Unabhängigkeitsmaß für die in dieser Arbeit untersuchten Zahlen her.

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On the Irrationality of ∑tnAαn+Bβn

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Arithmetical investigations of particular Wynn power series

Arithmetical investigations of particular Wynn power series

Quantitative irrationality for sums of reciprocals of Fibonacci and Lucas numbers

Algebraic independence results for reciprocal sums of Fibonacci and Lucas numbers

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