On the nonlinear stability of mKdV breathers

Abstract

Breather modes of the mKdV equation on the real line are known to be elastic under collisions with other breathers and solitons. This fact indicates very strong stability properties of breathers. In this communication we describe a rigorous, mathematical proof of the stability of breathers under a class of small perturbations. Our proof involves the existence of a nonlinear equation satisfied by all breather profiles, and a new Lyapunov functional which controls the dynamics of small perturbations and instability modes. In order to construct such a functional, we work in a subspace of the energy one. However, our proof introduces new ideas in order to attack the corresponding stability problem in the energy space. Some remarks about the sine-Gordon case are also considered.

Propagação de pacotes de ondas: BREATHERS

“…Da mesma maneira que o sóliton (18) é caracterizado por ser solução da equação diferencial (19), foi provado recentemente em [4] que os breathers também satisfazem uma equação diferencial, sendo sua propriedade principal o fato de ser de quarta ordem. Explicitamente, os breathers de mKdV (16) satisfazem a seguinte equação diferencial (aquí…”

“…x ao operador de quarta ordem da equação diferencial (23). Para mais detalhes sobre essa questão veja [4].…”

“…Nesse caso, a escolha de um bom funcional de Lypunov H é a chave para encontrar a equação diferencial que caracteriza os breathers. Para mais detalhes, ver [4,6,7] e [8].…”

“…não são dispersivas (note que ω(k) = −k), mas as soluções da equação de Airy (4) u t + u xxx = 0, são dispersivas (note que ω(k) = k 3 ). De fato, uma superposição contínua de ondas planas será a solução de (4) De fato, para t = 0, a integral anterior pode ser calculada explicitamente 4 em termos da função de Airy…”

“…Aqui signica a derivada com respeito ao argumento 3. Aqui u t ≡ ∂u ∂t ≡ ∂ t u e u x ≡ ∂u ∂x ≡ ∂ x u 4. Observar que devido ás grandes oscilações no innito causadas pela não linearidade k 3 na variável de integração, temos convergência e por tanto podemos calculá-la explicitamente.…”