On the sum of the Laplacian eigenvalues of a tree

Fritscher, Eliseu; Hoppen, Carlos; Rocha, Israel; Trevisan, Vilmar

doi:10.1016/j.laa.2011.01.036

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“…We notice in particular the work of Fritscher et al [5], where the original algorithm was adapted for the Laplacian matrix of a tree and applied to prove that among all trees with n vertices, the star S n has the highest Laplacian energy, which was conjectured by Radenković & Gutman in [8]. Besides, Braga et al [3] adapted the original algorithm for the normalized Laplacian matrix, introduced by Chung [4] and i j = 0, otherwise.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Locating Eigenvalues of Perturbed Laplacian Matrices of Trees

Braga

Rodrigues

2018

Tend. Mat. Apl. Comput.

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ABSTRACT. We give a linear time algorithm to compute the number of eigenvalues of any perturbed Laplacian matrix of a tree in a given real interval. The algorithm can be applied to weighted or unweighted trees. Using our method we characterize the trees that have up to 5 distinct eigenvalues with respect to a family of perturbed Laplacian matrices that includes the adjacency and normalized Laplacian matrices as special cases, among others.

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Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…If D is the diagonal matrix of the degrees of the vertices of G, then L D (G) is the Laplacian matrix of G and DiagonalizeW coincides with the algorithm applied in [5]. Besides, if D is the identity matrix and we take…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Locating Eigenvalues of Perturbed Laplacian Matrices of Trees

Braga

Rodrigues

2018

Tend. Mat. Apl. Comput.

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Section: Introductionunclassified

“…Em particular, podemos destacar o trabalho de Fritscher et al [5], em que foi apresentada pela primeira vez uma adaptação do algoritmo para a matriz laplaciana combinatória, utilizada 2 na demonstração de que, dentre todas asárvores de n vértices, aárvore com energia laplaciana máximaé a estrela S n , solucionando positivamente a conjectura de Radenković e Gutman em [8]. Já em [3], Braga et al adaptaram o algoritmo de Jacobs e Trevisan para a matriz laplaciana normalizada de umaárvore, introduzida por Chung [4].…”

Section: Introductionunclassified

Localização de Autovalores de Matrizes Laplacianas Perturbadas de Árvores

Braga¹,

Rodrigues²

2017

Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics

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Resumo. Neste trabalho, apresentamos um algoritmo de tempo linear que permite localizar, num dado intervalo real, o número de autovalores de uma matriz laplaciana perturbada qualquer associada a umaárvore. Este algoritmo pode ser aplicado aárvores com ou sem pesos. Utilizando este procedimento, obtemos uma caracterização dasárvores com até cinco autovalores distintos para uma família de matrizes laplacianas perturbadas, que inclui a matriz de adjacências e a matriz laplaciana normalizada como casos particulares.Palavras-chave. Matriz Laplaciana Perturbada, Localização de Autovalores,Árvores. IntroduçãoA Teoria Espectral de Grafos estuda a relação existente entre o espectro de matrizes associadas a grafos e propriedades estruturais dos grafos. A matriz mais comumente utilizada para representar um grafoé a matriz de adjacências. Se Gé um grafo simples não orientado com vértices v 1 , ..., v n , a matriz de adjacências A = (a ij ) de Gé a matriz real simétrica de ordem n com entradas 0 ou 1, definida por a ij = 1 se, e somente se, existe uma aresta conectando os vértices v i e v j , onde 1 ≤ i, j ≤ n, i = j.Umaárvoreé um grafo conexo e sem ciclos. Em [7], Jacobs e Trevisan apresentaram um algoritmo para calcular o número de autovalores de umaárvore em um dado intervalo real. Esse método tem como característica importante percorrer os vértices daárvore sem necessidade do uso da matriz explicitamente. Nesse artigo, os autores também observaram que o procedimento teria potencial para ser adaptado para outras matrizes, por exemplo para a matriz laplaciana combinatória, ou seja, a matriz L = D − A, onde Dé a matriz diagonal cuja entrada ii da diagonalé o grau do vértice v i de um grafo G e Aé a matriz de adjacências de G.O algoritmo de Jacobs e Trevisan e suas extensões que foram sendo desenvolvidas têm-se mostrado uma ferramenta prática e eficiente em Teoria Espectral de Grafos. Em particular, podemos destacar o trabalho de Fritscher et al. [5], em que foi apresentada pela primeira vez uma adaptação do algoritmo para a matriz laplaciana combinatória, utilizada 1 rodrigob@unisinos.br 2

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“…It has been shown in [61] that the equality (5) holds for diameter 3 trees. Furthermore, the authors of [16] proved that the right hand side of (5) is always true. Using the database of trees available in Brendan McKay's web page http://cs.anu.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Coxeter energy of graphs

Mróz

2016

Linear Algebra and its Applications

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On the sum of the Laplacian eigenvalues of a tree

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Locating Eigenvalues of Perturbed Laplacian Matrices of Trees

Locating Eigenvalues of Perturbed Laplacian Matrices of Trees

Localização de Autovalores de Matrizes Laplacianas Perturbadas de Árvores

Coxeter energy of graphs

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