On the thinness and proper thinness of a graph

Abstract

Graphs with bounded thinness were defined in 2007 as a generalization of interval graphs. In this paper we introduce the concept of proper thinness, such that graphs with bounded proper thinness generalize proper interval graphs. We study the complexity of problems related to the computation of these parameters, describe the behavior of the thinness and proper thinness under three graph operations, and relate thinness and proper thinness to other graph invariants in the literature. Finally, we describe a wide family of problems that can be solved in polynomial time for graphs with bounded thinness, generalizing for example list matrix partition problems with bounded size matrix, and enlarge this family of problems for graphs with bounded proper thinness, including domination problems.

A complexidade do reconhecimento de grafos k-fino próprio de precedência

“…Grafos k-fino próprio generalizam grafos de intervalo próprio, sendo os grafos 1-fino próprio a classe dos grafos de intervalo próprio. Em [Bonomo and de Estrada 2019],é provado que, dado um particionamento de tamanho arbitrário de V (G), decidir a existência de uma ordem fortemente consistente com relação a esse particionamentoé um problema NP-completo. Por outro lado, a complexidade da versão desse problema quando o tamanho do particionamentoé fixo, istoé, não faz parte dos dados de entrada,é um problema ainda em aberto.…”

“…Por outro lado, a complexidade da versão desse problema quando o tamanho do particionamentoé fixo, istoé, não faz parte dos dados de entrada,é um problema ainda em aberto. Ainda em [Bonomo and de Estrada 2019],é mostrado que dada uma ordem total de V (G), determinar o particionamento mínimo para o qual essa ordemé fortemente consistente pode ser resolvido em tempo polinomial. Além disso, considerando o caso geral, determinar se um grafoé k-fino próprio está em aberto mesmo para um k ≥ 2 fixo.…”

Reconhecimento de Grafos Fino de Precedência

“…Há grafos com valores arbitrários de finura e os grafos 1-finos constituem a classe dos grafos de intervalo, sendo a finura um indicativo do quão distante está um grafo de ser de intervalo. Dado um grafo G, determinar um particionamento mínimo de V (G) para o qual uma dada ordenação seja consistente pode ser resolvido em tempo polinomial [Bonomo et al 2011], enquanto que determinar a existência de uma ordem consistente para um dado particionamento de V (G) é NPcompleto [Bonomo, de Estrada 2018]. Considerando o problema geral, reconhecer se um grafo é k-fino, mesmo para k > 1 fixo, continua em aberto.…”

Sobre Finura Própria de Grafos

“…A classe dos grafos k-finos foi introduzida em [Mannino et al 2007] como uma generalização da classe dos grafos de intervalo. Motivados por isto, [Bonomo, Estrada 2017] definiram a classe dos grafos k-finos próprios que, de forma similar, generalizam os grafos de intervalo próprio. As complexidades dos problemas de reconhecer os grafos k-finos e k-finos próprios, mesmo para k 2 fixo, encontram-se em aberto.…”

“…Em [Bonomo, Estrada 2017], é apresentado um algoritmo eficiente para determinar o particionamento mínimo de V (G) para o qual uma dada ordenação é consistente, ou fortemente consistente. Além disso, prova-se que o problema de determinar se existe uma ordenação consistente, ou fortemente consistente, dado um particionamento é NPcompleto.…”