On the uniform convergence of double sine series

Abstract

Abstract. Let a single sine series ( * ) P ∞ k=1 a k sin kx be given with nonnegative coefficients {a k }. If {a k } is a "mean value bounded variation sequence" (briefly, MVBVS), then a necessary and sufficient condition for the uniform convergence of series ( * ) is that ka k → 0 as k → ∞. The class MVBVS includes all sequences monotonically decreasing to zero. These results are due to S. P. Zhou, P. Zhou and D. S. Yu. In this paper we extend them from single to double sine series ( * * ) P ∞ k=1 P ∞ l=1 c kl sin kx sin ly, even with complex coefficients {c kl }. We also give a uniform boundedness test for the rectangular partial sums of series ( * * ), and slightly improve the results on single sine series.

On the uniform convergence of double sine series

“…Theorem 2 was generalized by Kórus and Móricz [3] and by Kórus [4] (and also by Leindler [5]). They have defined new classes of double sequences to obtain those generalizations.…”

Egyszeres és kétszeres szinuszsorok és -integrálok egyenletes konvergenciája

“…[15]-ben belátták, hogy NBVS tartalmazza az 1.1.1. Tétel általánosításához megfelelő, addig legbővebbnek tekinthető sorozatosztályt, GBVS-t, valamint [16]-ban az MVBVS NBVS tartalmazást igazolták (pontos levezés található [7]-ben). Továbbá bebizonyították a következő állítást, a klasszikus tétel addigi legbővebb kiterjesztését:…”

“…Megfordítva, ha egy folytonos függvény Fourier-sorának (szinuszsorának) együtthatói nemnegatívak, akkor a Fourier-sor egyenletesen konvergál a függvényhez (lásd [7,12]). …”

“…Az ottani feltétel termé-szetesen elegendő a Pringsheim-féle konvergencia egyenletességéhez is, azonban nem szükséges ahhoz. 2009-ben Móricz Ferenccel közös cikkünkben, [7]-ben általánosítot-tuk Žak és Šneider tételét az MVBVDS osztály segítségével, mely az MVBVS mintájára definiált, általánosított monoton, kettős sorozatok osztálya. Ezen cikkben már a reguláris konvergencia Móricz-féle [9]-beli formáját használjuk, nem a Žak és Šneider által alkalmazott formáját.…”

“…Ezen cikkben már a reguláris konvergencia Móricz-féle [9]-beli formáját használjuk, nem a Žak és Šneider által alkalmazott formáját. Legfrissebb eredményként pedig MVBVDS-t tovább általánosí-tottam [6]-ban, és beláttam a [14] és [7]-beli tételek eddigi (általam ismert) legbővebb kiterjesztését.…”