On topological properties of the formal power series substitution group

Abstract

Certain topological properties of the group \mathcal J(\bf k) of formal one-variable power series with coefficients in a commutative topological unitary ring \bf k are considered. We show, in particular, that in the case of \bf k=\mathbb Z equipped with the discrete topology, in spite of the fact that the group \mathcal J(\mathbb Z) has continuous monomorphisms into compact groups, it cannot be embedded into a locally compact group. In the case where \bf k=\mathbb Q the group \mathcal J(\mathbb Q) has no continuous monomorphisms into a locally compact group. In the last part of the paper the compressibility property for topological groups is considered. This property is valid for \mathcal J(\bf k) for a number of rings, in particular for the group \mathcal J(\mathbb Z) .

Algebra, geometry, and topology of the substitution group of formal power series

“…Сжимаемые топологические группы. В этом разделе мы рассматриваем свойство типа фрактальности, присущее группе J (k) для очень многих базисных колец k. Систематическое изучение этого свойства было начато в [3], где можно найти и доказательства нижеследующих утверждений. Определение 3.1.…”

“…Доказательство этого утверждения можно найти в [3]. Отметим лишь, что имеет место полезное формальное представление Θ s в виде…”

“…Может создаться впечатление, что эффект сжимаемости группы J (k) присущ исключительно размерностям 0 и бесконечность. Это в действительности не так, закончим этот пункт следующим утверждением [3].…”

“…Иначе говоря, перестановка F действует на ряды заменой независимой переменной x на ряд f (x). Если теперь G : x → g(x) -некоторое другое отображение, то композиция отображений GF : x → g(f (x)) соответствует операции подстановки (3). Ассоциативность произведения в J (k) непосредственно вытекает из закона ассоциативности в группе подстановок на некотором множестве.…”

“…Это чисто алгебраическое свойство, в конечном итоге, и определяет невозможность вложения в локально компактные группы, детали см. в [3].…”