On uniform polynomial approximation

Abstract

Let n be a positive integer and ξ a transcendental real number. We are interested in bounding from above the uniform exponent of polynomial approximation ωn(ξ). Davenport and Schmidt's original 1969 inequality ωn(ξ) ⩽ 2n − 1 was improved recently, and the best upper bound known to date is 2n − 2 for each n ⩾ 10. In this paper, we develop new techniques leading us to the improved upper bound 2n − 1 3 n 1/3 + O(1). Résumé(Sur l'approximation polynomiale uniforme). -Soient n un entier strictement positif et ξ un nombre réel transcendant. Nous cherchons à borner supérieurement l'exposant uniforme d'approximation polynomiale ωn(ξ). Établie par Davenport et Schmidt en 1969, l'inégalité ωn(ξ) ⩽ 2n−1, a été améliorée pour la première fois récemment, et la meilleure borne supérieure connue à ce jour est 2n − 2 pour tout n ⩾ 10. Dans ce papier, nous développons de nouvelles techniques qui nous permettent d'obtenir la borne supérieure améliorée 2n − 1 3 n 1/3 + O(1). ContentsMathematical subject classification (2020). -11J13, 11J82.