Os fundamentos do pensamento matematico no seculo XX e a relevancia fundacional da teoria de modelos

Freire, Rodrigo de Alvarenga; Carnielli, Walter

doi:10.47749/t/unicamp.2009.439559

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“…Um segundo motivo é bem forte: o próprio conjunto de fórmulas da linguagem L I admite mais de uma semântica. Segundo Freire, [9], página 22, ...a Lógica é formulada com quantificadores, mas as formulações podem variar ligeiramente de acordo com a interpretação das variáveis livres. Há duas interpretações possíveis: a interpretação condicional das variáveis e a interpretação da generalidade... Tais interpretações fornecem contrapartes sintáticas distintas (que não consideramos aqui) mas, ainda segundo [9], em função do Teorema das Constantes, elas são interinterpretáveis.…”

Section: Definição 233unclassified

“…Segundo Freire, [9], página 22, ...a Lógica é formulada com quantificadores, mas as formulações podem variar ligeiramente de acordo com a interpretação das variáveis livres. Há duas interpretações possíveis: a interpretação condicional das variáveis e a interpretação da generalidade... Tais interpretações fornecem contrapartes sintáticas distintas (que não consideramos aqui) mas, ainda segundo [9], em função do Teorema das Constantes, elas são interinterpretáveis. Assim, a existência de mais de uma semântica para um conjunto de fórmulas não é fonte de problemas; ao contrário, tais semânticas permitem uma maior riqueza conceitual aos sistemas semânticos.…”

Section: Definição 233unclassified

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Lógicas abstratas e o primeiro teorema de Lindström

Almeida¹,

D`Ottaviano²

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Agradeço à professora Itala M. L. D'Ottaviano pela orientação e incentivo dispensados durante todo o processo de produção desta Dissertação e ao professor Hércules de Araujo Feitosa, com quem inicei meus estudos em lógica; agradeço também a Rodrigo de Alvarenga Freire, pela amizade e incentivo.Agradeço ainda aos professores Itala M. L. D'Ottaviano, Walter A. Carnielli e Marcelo E. Coniglio, bem como os pesquisadores Rodolfo Ertola e Fábio Bertato pelo esforço hercúleo que mantém uma atmosfera de rico debate intelectual e livre circulação de ideias no Centro de Lógica, Epistemologia e História da Ciência da UNICAMP.Ainda, agradeço aos amigos e colegas do Centro de Lógica, Epistemologia e História da UNICAMP, felizmente muitos para serem nomeados, pela convivência harmoniosa, pelo ambiente amistoso e pelo clima de camaradagem que perpassa todas as atividades desenvolvidas no referido Centro.Por fim, agradeço aos membros da banca de qualificação e de defesa desta Dissertação de Mestrado.A todos eles, MUITO OBRIGADO. ixx ResumoEsta Dissertação apresenta uma definição de lógica abstrata e caracteriza alguns sistemas lógicos bastante conhecidos na literatura como casos particulares desta. Em especial, mostramos que a lógica de primeira ordem, lógica de segunda ordem, lógica com o operador Q 1 de Mostowski e a lógica infinitária L ω 1 ω são casos particulares de lógicas abstratas. Mais que isso, mostramos que tais lógicas são regulares.Na análise de cada uma das lógicas acima citadas, mostramos o comportamento das mesmas com relação às propriedades de Löwenheim-Skolem e compacidade enumerável, resultados estes centrais à teoria de modelos. Nossa análise permite-nos constatar que, dentre os quatro casos apresentados, o único que goza de ambas as propriedades é a lógica de primeira ordem; as demais falham em uma, na outra ou em ambas as propriedades.Mostramos que isso não é mera coincidência, mas sim um resultado profundo, que estabelece fronteiras bem delimitadas à lógica de primeira ordem, conhecido como primeiro teorema de Lindström: se uma lógica é regular, ao menos tão expressiva quanto a lógica de primeira ordem e satisfaz ambas as propriedades citadas, então esta é equivalente a lógica de primeira ordem. Realizamos uma prova cuidadosa do teorema, em que cada ideia e cada estratégia de prova é estabelecida criteriosamente.Com seu trabalho, Lindström inaugurou um novo e profícuo campo de estudo, a teoria abstrata de modelos que estabelece, com relação a diversas combinações de propriedades de sistemas lógicos, uma estratificação entre lógicas. Apresentamos um outro exemplo de tal estratificação através de uma versão modal do teorema de Lindström, versão esta que caracteriza a lógica modal básica como maximal quanto a bissimilaridade e compacidade.Encerramos esta Dissertação com algumas considerações acerca da influência do primeiro teorema de Lindström.

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Section: Definição 233unclassified

Lógicas abstratas e o primeiro teorema de Lindström

Almeida¹,

D`Ottaviano²

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“…Formalização do PD 4 : Além disso, esses sistemas são dotados da propriedade de Löwenheim-Skolem, bem como das propriedades de interpolação de Craig, definibilidade de Beth e um resultado que mimetiza, em muitas aplicações, a compacidade. 30 Se forem admitidas apenas fórmulas de comprimento enumerável e deduções a partir de um conjunto enumerável de sentenças, há uma contraparte sintática de L ω 1 ω que é adequada do ponto de vista dedutivo, isto é, há um aparato de prova que é correto e completo com relação a semântica. 31 Do ponto de vista matemático, L ω 1 ω se revela muito menos impregnado de noções matemáticas do que os sistemas de segunda ordem, aproximando-se dos sistemas de primeira ordem.…”

Section: Formalização Do Pdunclassified

Análise das condições de verdade e dos requerimentos existenciais em axiomatizações da aritmética

Almeida¹

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Agradeço, respeitosa e carinhosamente, à professora Itala D'Ottaviano; os anos em que estive sob sua supervisão despertaram em mim profundo respeito e admiração. A liberdade de trabalho que usufruí e a confiança em mim depositada sempre foram fontes de motivação e entusiasmo e, sem seu respaldo, este trabalho não lograria êxito.Agradeço, afetuosa e imensamente, a Rodrigo Freire, grande amigo e excelente orientador desta tese de doutorado. Desde antes de me graduar, Rodrigo sempre me incentivou e motivou com relação à academia e, durante meus anos como pós-graduando, esteve sempre presente e muito solícito. É colossal minha gratidão pela confiança em mim depositada, pelas muitas horas de trabalho em seminários e pelos muitos quilômetros de caminhadas, regadas à conversas sobre lógica e filosofia da matemática, pelos campi da Unicamp, USP e UnB.Agradeço, alegre e emocionadamente, a meus queridíssimos amigos Leandro, Henrique, Newton, Inés, Alfredo e Juliana. As viagens, a cumplicidade e a convivência das quais tive o privilégio e felicidade de gozar na companhia de vocês foram alguns dos principais momentos de alegria e contentamento que vivenciei durante os anos de doutoramento. Os muitos bons momentos com vocês compartilhados deixaram marcas indeléveis em mim e, sem vossa amizade, estes últimos anos teriam sido muito menos divertidos e tranquilos.Agradeço, muitíssimo, aos professores, aos pesquisadores e a todos os colegasem especial ao Bruno, Edson, Dave e Francesco -pela convivência harmoniosa, pelo ambiente amistoso e pelo clima de camaradagem e descontração presentes em todas as atividades desenvolvidas no Centro de Lógica. Sem esta atmosfera extremamente favorável, as muitas horas em que passei no Centro de Lógica certamente não teriam sido tão proveitosas e prazerosas.Por fim, gradeço à FAPESP, Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo, pela concessão da bolsa de doutorado, cujo número do processo é 2013/01.011-6. ResumoEsta Tese tem por objetivo contribuir para o entendimento de dois assuntos caros à filosofia da matemática, a noções de verdade de proposições matemáticas e a noção de existência em aritmética. Para isso, são apresentadas duas contribuições originais, uma para cada um desses assuntos. Com relação à noção de verdade, são exploradas as consequências da adoção do pressuposto que as condições de verdade das proposições aritméticas são determinadas por um padrão normativo instituído pela prática matemática. A análise desenvolvida estabelece precisamente em qual sentido o modelo padrão da aritmética -e consequentemente, o valor de verdade das sentenças aritméticas -é fixado pelo pressuposto de análise. Quanto à noção de existência, é desenvolvida uma proposta de avaliação dos requerimentos existenciais das sentenças aritméticas a partir do pressuposto que o importe existencial destas sentenças é um atributo das condições de verdade das proposições aritméticas. A análise desse pressuposto motiva uma definição precisa e bem fundamentada, no contexto aritmético, para o conceito de axioma d...

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Os fundamentos do pensamento matematico no seculo XX e a relevancia fundacional da teoria de modelos

Abstract: Agradeço aos meus pais, Roberto e Maria Luiza, aos meus irmãos Raphael e Raquel, à minha esposa Carolinne e à minha filha Ana Luiza pelo suporte que me propiciaram em todos esses anos, sem o qual a realização do presente trabalho não seria possível.

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Lógicas abstratas e o primeiro teorema de Lindström

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Análise das condições de verdade e dos requerimentos existenciais em axiomatizações da aritmética

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