Permanence properties of the second nilpotent product of groups

Abstract

We show that amenability, the Haagerup property, the Kazhdan's property (T) and exactness are preserved under taking second nilpotent product of groups. We also define the restricted second nilpotent wreath product of groups, this is a semi-direct product akin to the restricted wreath product but constructed from the second nilpotent product. We then show that if two discrete groups have the Haagerup property, the restricted second nilpotent wreath product of them also has the Haagerup property. We finally show that if a discrete group is abelian, then the restricted second nilpotent wreath product constructed from it is unitarizable if and only if the acting group is amenable.

Aproximaciones en productos verbales de grupos y productos corona verbales de grupos, propiedades de permanencia y aplicaciones

“…Golovin demostró que los productos nilpotentes de grupos finitos son finitos. Los artículos [24], [45] y más recientemente [70], analizaron con más detalle algunas propiedades del producto 2-nilpotente de grupos. Además, por ejemplo, en [35], [46], [47], [50], [74] se estudiaron algunas propiedades teóricas específicas de la teoría de grupos como capability y el invariante de Baer de productos k-nilpotentes de un número finito de grupos cíclicos.…”

“…En [70], Sasyk tomó el estudio de productos 2-nilpotentes de grupos desde el punto de vista de la dinámica de las acciones de grupos y demostró, entre otras cosas, que la amenabilidad, exactitud, propiedad de Haagerup y la propiedad (T) de Kazhdan se preservan tomando producto 2-nilpotente de grupos. Las propiedades antes mencionadas son relevantes en varias áreas de las matemáticas, por ejemplo, están en el centro de las conexiones entre la teoría de grupos y las álgebras de operadores (ver por ejemplo, [6], [7], [14], [44], [81]).…”

“…Las propiedades antes mencionadas son relevantes en varias áreas de las matemáticas, por ejemplo, están en el centro de las conexiones entre la teoría de grupos y las álgebras de operadores (ver por ejemplo, [6], [7], [14], [44], [81]). Como tal, era tentador ver si el trabajo realizado en [70] podía extenderse a otros productos nilpotentes de grupos. Sin embargo, dado que cierta sucesión exacta corta que fue el ingrediente clave en varias de las demostraciones en [70] no está presente en otros productos nilpotentes, se requirió de nuevas ideas para abordar este problema.…”

“…Como tal, era tentador ver si el trabajo realizado en [70] podía extenderse a otros productos nilpotentes de grupos. Sin embargo, dado que cierta sucesión exacta corta que fue el ingrediente clave en varias de las demostraciones en [70] no está presente en otros productos nilpotentes, se requirió de nuevas ideas para abordar este problema.…”

“…Fue aún más problemático lidiar con la soficidad y la hiperlinealidad, otras dos propiedades importantes de grupos que surgen del estudio de la dinámica de las acciones de grupos. Estas propiedades han sido de mucho interés en los últimos años debido a sus múltiples aplicaciones para problemas de interés actual (ver, por ejemplo, [59], [62], [77]) y estaban fuera del alcance de las técnicas implementadas en [70]. Una de las motivaciones primigenias de la presente tesis fue abordar este vacío.…”