Permutation Trees and Variation Statistics

Abstract

In this paper we exploit binary tree representations of permutations to give a combinatorial proof of Purtill's result [8] thatwhere A n is the set of André permutations, v cd (σ ) is the cd-statistic of an André permutation and v ab (σ ) is the ab-statistic of a permutation. Using Purtill's proof as a motivation we introduce a new 'Foata-Strehl-like' action on permutations. This Z n−1 2 -action allows us to give an elementary proof of Purtill's theorem, and a bijection between André permutations of the first kind and alternating permutations starting with a descent. A modified version of our group action leads to a new class of André-like permutations with structure similar to that of simsun permutations.

Arbres minimax et polynômes d'André

“…Alors π envoie bijectivement l'ensemble des arbres croissants (resp. de Hetyei-Reiner) ayant n sommets sur le groupe des permutations de la suite 1 2 n. Voir les démonstrations dans [FoSch71,HeRe98]. Ceci montre, en particulier, que card C n = card HR n = n!…”

“…Lorsqu'on applique les opérations c s aux seuls arbres de Hetyei-Reiner, on retrouve les opérations ψ k introduites par ces auteurs [HeRe98]. On peut aussi définir directement les opérations-compléments c s et c s de la façon suivante.…”

“…minimum) dans T s . Il faut noter que Hetyei et Reiner [HeRe98] appellent "minimax" ce que nous appelons "de Hetyei-Reiner". Soit HR n l'ensemble des arbres de Hetyei-Reiner d'ordre n. On dit qu'un arbre minimax est croissant CR si les racines de tous ses sous-arbres ont desétiquettes minimum.…”

“…A pour tout sommet intérieur s, le sous-arbreà droite un résultatétabli par Hetyei-Reiner [HeRe98] pour les arbres de même nom et un résultat classique pour les arbres croissants (voir, par exemple, [FoSch71]). Nous rappelonsà la fin du paragraphe 2 commentétablir géométriquement ces deux faits.…”

“…Pour comparer notre contributionà celles apportées par les travaux antérieurs, disons que la partie concernant la surjection r C n → A n est dueà Foata-Strehl [FoSt74] et celle concernant la surjection c HR n → A n est dueà Hetyei-Reiner [HeRe98]. Il nous a paru essentiel de rassembler ces résultats dans un même modèle et donc d'imaginer une classe d'arbres qui englobeà la fois les arbres croissants et ceux d'Hetyei-Reiner, sur lesquels on peut prolonger l'action des groupes jusque là limitée aux seuls arbres croissants ou d'Hetyei-Reiner.…”