Perturbation Method for Particle-like Solutions of the Einstein–Dirac Equations

Abstract

Abstract. The aim of this Note is to prove by a perturbation method the existence of solutions of the coupled Einstein-Dirac-Maxwell equations for a static, spherically symmetric system of two fermions in a singlet spinor state and with the electromagnetic coupling constant`e m´2 < 1. We show that the nondegenerate solution of Choquard's equation generates a branch of solutions of the Einstein-Dirac-Maxwell equations.Une méthode de perturbation pour les solutions localisées deséqua-tions d'Einstein-Dirac-Maxwell.Résumé. Le but de cette Note est de démontrer par une méthode de perturbation l'existence de solutions deséquations d'Einstein-Dirac-Maxwell pour un système statique,à symétrie sphérique de deux fermions dans unétat de singulet et avec une constante de couplageélectromagnétique`e m´2 < 1. On montre que la solution non dégénérée de l'équation de Choquard génère une branche de solutions deséquations d'Einstein-Dirac-Maxwell. noyau de la linéarisation de l'équation contient seulement la fonction identiquement nulle. On appelle φ 0 la solution du système (12). Ensuite, on observe que le système perturbé s'écrit sous la forme D(ε, ϕ, χ, τ, ζ) = 0 avec D un opérateur non linéaire de classe C 1 , pour un bon choix d'espaces fonctionnels. On prouve que cet opérateur satisfait les hypothèses du théorème des fonctions implicites. En particulier, on montre que la linéarisation de l'opérateur D par rapportà (ϕ, χ, τ, ζ) en (0, φ 0 ), D ϕ,χ,τ,ζ (0, φ 0 ), est une injection, grâceà la non-dégénérescence de la solution de l'équation de Choquard, et s'écrit comme somme d'un isomorphisme et d'un opérateur compact ; donc D ϕ,χ,τ,ζ (0, φ 0 ) est un isomorphisme. En appliquant le théorème des fonctions implicites, on déduit que, pour ε assez petit et e 2 − m 2 < 0, le système (11) a une solution. Version française abrégéeEn conclusion, pour e 2 − m 2 < 0, 0 < ω < m et m − ω assez petit, leséquations d'Einstein-Dirac-Maxwell possèdent une solution non triviale.

Perturbation method for particle-like solutions of the Einstein–Dirac–Maxwell equations

“…In this Note, using the idea introduced by Ounaies for a class of nonlinear Dirac equations (see [1]) and adapted in [5] to the Einstein-Dirac equations, we obtain the following result. Theorem 1.1.…”

“…Dans un papier récent [5], par une méthode de perturbation, on a montré de manière rigoureuse l'existence de solutions deséquations d'Einstein-Dirac pour un système statique,à symétrie sphérique de deux fermions dans unétat de singulet. Dans cette Note, on généralise ce résultat auxéquations d'Einstein-Dirac-Maxwell et on montre, dans le cas particulier d'un couplageélectromagnétique faible, l'existence des solutions obtenues numériquement par F. Finster, J. Smoller et ST. Yau dans [7].…”

“…Plus précisément, en utilisant l'idée introduite par Ounaies pour une classe d'équations de Dirac non linéaires (voir [1]) et adaptée dans [5] auxéquations d'Einstein-Dirac, on obtient le théorème suivant.…”

“…Soient e, m, ω tels que e 2 − m 2 < 0, 0 < ω < m et supposons m − ω assez petit ; alors il existe une solution non triviale de (1)(2)(3)(4)(5).…”

“…In a recent paper [5], using a perturbation method, we proved rigorously the existence of solutions of the coupled Einstein-Dirac equations for a static, spherically symmetric system of two fermions in a singlet spinor state. In this Note, we extend our result to the Einstein-Dirac-Maxwell equations and we prove, in the particular case of a weak electromagnetic coupling, the existence of the solutions obtained numerically by F. Finster, J. Smoller and ST. Yau in [7].…”