Pisot substitutions and Rauzy fractals

Arnoux, Pierre; Ito, Shunji

doi:10.36045/bbms/1102714169

Cited by 197 publications

(247 citation statements)

References 9 publications

Supporting

Mentioning

237

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…La représentation ϕ ∞ de tels système substitutifs est etudiée dans [AI01,CS01b]. La dimension D ∞ est la plus grande possible (c'est-à-dire d − 1) si la substitution est de type Pisot.…”

Section: Représentations Des Substitutions Unimodulaires 1259unclassified

Reprsentation des systmes dynamiques substitutifs non unimodulaires

Siegel¹

2003

Ergod. Th. Dynam. Sys.

View full text Add to dashboard Cite

On montre que la condition combinatoire de fortes coïncidences est suffisante pour qu'un système substitutif de type Pisot soit isomorphe en mesureà unéchange de morceaux dans un compact autosimilaire de mesure non nulle dans le produit d'un espace euclidien et d'extensions finies de corps p-adiques. En particulier, tout système substitutif de type Pisot est une extension finie de son facteuréquicontinu maximal ; en règle générale, ce dernier contient une translation p-adique si et seulement si la matrice d'incidence de la substitution est nilpotente modulo p.Abstract. The combinatorial condition of strong coincidence is proved to be a sufficient condition for the dynamical system associated with a non-unimodular substitution of Pisot type to be measure-theoretically isomorphic with an exchange of domain on a set called the Rauzy fractal of the substitution. The Rauzy fractal is a self-similar compact subset of the product of an Euclidean space with finite extensions of p-adic fields. As a consequence, every substitutive dynamical system of Pisot type is a finite extension of its maximal equicontinuous factor. We prove that this maximal factor contains a p-adic translation if and only if the incidence matrix of the substitution is nilpotent modulo p. 1248A. SiegelUne réponse complète aété obtenue durant les années 1960-1970 concernant les substitutions de longueur constante (voir en particulier [Kam72, Mar73, Dek78]) : le facteuréquicontinu maximal d'un système substitutif de longueur constante l est une translation sur le produit direct du groupe des entiers l-adiques Z l et d'un groupe fini ; il y a de plus un isomorphisme mesurable entre un système substitutif de longueur constante et son facteuréquicontinu maximal si et seulement si la substitution vérifie une condition combinatoire simple dite de coïncidences [Dek78].Concernant l'étude des substitutions de longueur non constante, un pas significatif fut de montrer que les fonctions propres des systèmes substitutifs primitifs sont continues ([Hos86], voir aussi [FMN96]). Ainsi, très opportunément, les deux principales classifications dynamiques que sont la classification par isomorphisme mesurable et celle par isomorphisme topologique sontéquivalentes dans le cas des systèmes substitutifs primitifs. De plus, le spectre discret d'un système substitutif se divise en deux parties : la première, d'origine arithmétique, provient de la matrice d'incidence de la substitution ; la seconde, combinatoire, est liée aux mots de retour associés au point fixe de la substitution. Des conditions partielles, certaines suffisantes, d'autres nécessaires, pour qu'un système substitutif soità spectre discret, ontété obtenuesà partir des méthodes développées dans [Hos86] (voir [Hos92, Sol92, Liv92, FMN96] en particulier).Pour les substitutions de type Pisot unimodulaires, la partie arithmétique du spectre est entièrement déterminée :étant convenu que les valeur propres seront toujours notées additivement, le spectre arithmétique est engendré par les fréquences d'apparition des let...

show abstract

Section: Représentations Des Substitutions Unimodulaires 1259unclassified

Reprsentation des systmes dynamiques substitutifs non unimodulaires

Siegel¹

2003

Ergod. Th. Dynam. Sys.

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…For every unit Pisot substitution satisfying the strong coincidence condition, the substitutive system (X σ , S, µ) is measurably conjugate to the domain exchange (R, E, λ). See [AI01,CS01] for the details in the irreducible setting and [EIR06] for the reducible one. As described in the introduction, the construction of stepped surfaces and the existence of periodic tilings for this substitution is not clear.…”

Section: Hokkaido Substitutionmentioning

confidence: 99%

“…in [IO93,IO94]. The concept of stepped surface plays a central role in [AI01] in the irreducible substitution context, where it is defined as the set of nearest colored integer points above the contracting space K c of the substitution σ:…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Geometrical Models for a Class of Reducible Pisot Substitutions

Loridant¹,

Minervino²

2018

Discrete Comput Geom

View full text Add to dashboard Cite

We set up a geometrical theory for the study of the dynamics of reducible Pisot substitutions. It is based on certain Rauzy fractals generated by duals of higher dimensional extensions of substitutions. We obtain under certain hypotheses geometric representations of stepped surfaces and related polygonal tilings, as well as self-replicating and periodic tilings made of Rauzy fractals. We apply our theory to one-parameter family of substitutions. For this family, we analyze and interpret in a new combinatorial way the codings of a domain exchange defined on the associated fractal domains. We deduce that the symbolic dynamical systems associated with this family of substitutions behave dynamically as first returns of toral translations.

show abstract

“…Host [11], in a widely cited but unpublished manuscript, proved that a unimodular Pisot substitution system on two symbols is metrically conjugate to a circle rotation, provided the strong coincidence condition holds (see the next section for definitions). Arnoux and Ito [1] introduced the strong coincidence condition in the non-constant length case. Arnoux and Ito [1] introduced the strong coincidence condition in the non-constant length case.…”

Section: Hollander and B Solomyakmentioning

confidence: 99%

“…They used the geometric approach to establish that a unimodular Pisot substitution system on m symbols, satisfying the strong coincidence condition, is metrically conjugate to a domain exchange in R m−1 . However, being a domain exchange does not automatically imply that the dynamical system is pure discrete and additional conditions were needed to make such a claim [1,21]. Recently, Siegel [23] has proved that in the case of non-unimodular Pisot substitutions there is an analogous realization on a product of R m−1 and p-adic spaces.…”

Section: Hollander and B Solomyakmentioning

confidence: 99%