Platform-independent Specification and Verification of the Standard Mathematical Square Root Function

Abstract

Research project "Platform-independent approach to formal specification and verification of standard mathematical functions" is aimed onto a development of an incremental combined approach to the specification and verification of the standard mathematical functions like sqrt, cos, sin, etc. Platform-independence means that we attempt to design a relatively simple axiomatization of the computer arithmetic in terms of real, rational, and integer arithmetic (i.e. the fields R and Q of real and rational numbers, the ring Z of integers) but dont specify neither base of the computer arithmetic, nor a format of numbers representation. Incrementality means that we start with the most straightforward specification of the simplest easy to verify algorithm in real numbers and finish with a realistic specification and a verification of an algorithm in computer arithmetic. We call our approach combined because we start with a manual (pen-and-paper) verification of some selected algorithm in real numbers, then use these algorithm and verification as a draft and proof-outlines for the algorithm in computer arithmetic and its manual verification, and finish with a computer-aided validation of our manual proofs with some proof-assistant system (to avoid appeals to "obviousness" that are very common in human-carried proofs). In the paper we present first steps towards a platform-independent incremental combined approach to specification and verification of the standard functions cos and sin that implement mathematical trigonometric functions cos and sin.

Platform-Independent Specification and Verification of the Standard Mathematical Square Root Function

“…Здесь и далее мы используем следующую нотацию для пути по блок-схеме алгоритма между парой контрольных точек i и j: путь заключается в круглые скобки ( ), начинается с указания начальной контрольной точки i, заканчивается указанием конечной контрольной точки j, а между ними указываются знаки рёбер, исходящих из условных операторов на этом пути, по которым прошёл путь, или две точки "..", если путь не содержит условных операторов. Доказательство всех трёх перечисленных путей носит довольно-таки рутинный характер и было ранее представлено в [26].…”

“…В конце литературного обзора мы остановимся на сравнении нашего препринта [26] с настоящей статьей. В препринте [26] описаны, специфицированы и (вручную) верифицированы неадаптивные алгоритмы аппроксимации квадратного корня для чисел с фиксированной и плавающей запятой с накоплением ошибки вплоть (для чисел с фиксированной запятой) до 2δ D (2 + log 2 S ε ), где S "шаг" справочной таблицы начальных приближений для квадратного корня (в настоящей статье S = 1).…”

“…В конце литературного обзора мы остановимся на сравнении нашего препринта [26] с настоящей статьей. В препринте [26] описаны, специфицированы и (вручную) верифицированы неадаптивные алгоритмы аппроксимации квадратного корня для чисел с фиксированной и плавающей запятой с накоплением ошибки вплоть (для чисел с фиксированной запятой) до 2δ D (2 + log 2 S ε ), где S "шаг" справочной таблицы начальных приближений для квадратного корня (в настоящей статье S = 1). В настоящей работе описаны, специфицированы и (вручную) верифицированы адаптивные алгоритмы аппроксимации квадратного корня, достигающие (для чисел с фиксированной запятой) точности 7 1 6 δ D , рассмотрено прототипирование модели чисел с фиксированной запятой и автоматизированное доказательство (в системе ACL2) существования массива начальных приближений квадратного корня.…”

“…Благодарность: Дмитрию Юрьевичу Надёжину за техническую помощь с доказательством в системе ACL2 и за обсуждение материалов препринта [26]. Abstract.…”