Point générique et saut du rang du groupe de Mordell-Weil

Abstract

Soient k un corps de nombres et U une k-variété lisse intègre. Soit X → U une famille de variétés abéliennes. On établit les énoncés suivants. Si la k-variété X est dominée par une k-variété qui satisfait l'approximation faible faible, par exemple si X est k-unirationnelle, alors l'ensemble R des kpoints de U dont la fibre a un rang de Mordell-Weil strictement plus grand que celui de la fibre générique est dense pour la topologie de Zariski de U . Si X est k-rationnelle, alors R n'est pas mince dans U . Ceci généralise des résultats de Billard et de Salgado. L'idée principale de la démonstration, idée qui remonte à la thèse de Néron [13], est d'utiliser le point générique de la fibre générique de la famille, et d'appliquer ensuite le théorème de spécialisation de Néron. Dans l'appendice, on voit comment la méthode du point générique donne des résultats de Billing, de Néron, et de Holmes et Pannekoek.