Points Entiers des Variétés Arithmétiques

Moret-Bailly, Laurent

doi:10.1007/978-1-4757-4267-1_10

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“…Nous renvoyons le lecteurà [MB,chap. I,2.4.5] pour la notion de torseur cubiste dans un cadre toposique général.Étant donnés deux groupes commutatifs A et G d'un topos, la catégorie des G-torseurs cubistes sur A, munie du produit tensoriel, est une catégorie de Picard strictement commutative (au sens de [SGA 4, exposé XVIII, 1.4.2]).…”

Section: Torseurs Cubistesunclassified

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Prolongement de biextensions et accouplements en cohomologie log plate

Gillibert¹

2009

International Mathematics Research Notices

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RésuméNous revisitons, dans le langage des log schémas, le problème de prolongement de biextensions de schémas en groupes commutatifs lisses par le groupe multiplicatifétudié par Grothendieck dans [SGA 7]. Nous montrons que ce problème admet en général une solution dans la catégorie des faisceaux pour la topologie log plate, contrairementà ce que l'on peut observer en topologie fppf pour laquelle Grothendieck a défini des obstructions monodromiques. En particulier, dans le cas d'une variété abélienne et de sa duale, il est possible de prolonger la biextension de Weil sur la totalité des modèles de Néron ; ceci permet de définir un accouplement sur les points qui combine l'accouplement de classes défini par Mazur et Tate et l'accouplement de monodromie. AbstractWe study, using the language of log schemes, the problem of extending biextensions of smooth commutative group schemes by the multiplicative group. This was first considered by Grothendieck in [SGA 7]. We show that this problem admits a solution in the category of sheaves for Kato's log flat topology, in contradistinction to what can be observed using the fppf topology, for which monodromic obstructions were defined by Grothendieck. In particular, in the case of an abelian variety and its dual, it is possible to extend the Weil biextension to the whole Néron model. This allows us to define a pairing on the points which combines the class group pairing defined by Mazur and Tate and Grothendieck's monodromy pairing. IntroductionSoit S un trait, de point générique η = Spec(K), et soit A K une K-variété abélienne. Il est bien connu que la variété duale A t K de A K est munie d'un isomorphisme canoniquequi est parfois utilisé comme définition de A t K . On peut se demander ce qu'il advient de cet isomorphisme si l'on remplace les variétés abéliennes A K et A t K par leurs modèles de Néron sur S, que nous noterons respectivement A et A t .Grothendieck a utilisé le concept de biextension (introduit par Mumford) pourétudier ce problème. Plus précisément, prolonger l'isomorphisme (1.0.1) au niveau des modèles de Néronéquivautà prolonger la biextension de Weil W K de (A K , A t K ) par G m,K en une biextension de (A, A t ) par G m . Soit Φ (resp. Φ ′ ) le groupe des composantes de (la fibre spéciale de) A (resp. A t ), Grothendieck construit dans [SGA 7, exposé VIII, théorème 7. Dans cet article, nous nous sommes intéressés au problème de prolongement des biextensions dans la catégorie des log schémas, munie de la topologie Kummer log plate (voir le paragraphe 2.1 pour les log références). Munissons le trait S de sa log structure canonique ; en travaillant dans la catégorie des faisceaux pour la topologie Kummer log plate sur S, nous montrons le résultat suivant (cf. théorème 4.1.1) :

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Section: Torseurs Cubistesunclassified

“…( On peutà présent traduire l'accouplement de classes en termes d'intersection. où < div(σ), x > v est le symbole défini dans [MB,chap. III,1.3] (lequel est l'opposé du symbole de Néron en vertu de [MB,chap.…”

Section: Torseurs Cubistesunclassified

Prolongement de biextensions et accouplements en cohomologie log plate

Gillibert¹

2009

International Mathematics Research Notices

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“…We derive as usual that there exists a central extension G of G [l] by G m which acts equivariantly on L ⊗l (see [5], Ch. 5).…”

Section: Gerd Faltingsmentioning

confidence: 99%

“…Furthermore the global sections Γ(G, L ⊗l ) form a G-invariant V -lattice in the induced Kvectorspace. By the representation-theory of G ( [5], Ch. 5, Th.2.5.5) this lattice is unique up to scalars, and its reduction modulo π is an irreducible representation of G k .…”

Section: Gerd Faltingsmentioning

confidence: 99%

“…More precisely we follow [2] Ch.3 in the construction of weak Néron-models, then construct directly the formal group associated to the Néron model, and finally use it to to bypass many of the difficulties in [2] Ch. 5. In addition we use the occasion to present some slight generalisation of the construction to non proper and non commutative groupschemes.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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