Potenciales convexos, duales oblicuos óptimos y norma aliasing en subespacios de dimensión finita y subespacios invariantes por traslaciones

Abstract

En la teoría de marcos se han considerado varios problemas de investigación que se encuentran relacionados con algunos tópicos centrales de otras áreas del análisis funcional y la teoría de operadores. Un ejemplo de esta situación es el llamado problema de diseño de marcos. En este caso el problema es el de hallar marcos con cierta estructura, más precisamente con operador de marco y normas de los elementos de marco pre-establecidas. Este problema está íntimamente relacionado con el teorema de Schur-Horn de la teoría de mayorización. Esto ha motivado recientemente el interés y desarrollo de resultados en estas áreas de investigación. El desarrollo de la teoría de marcos está también influenciado por las aplicaciones de esta teoría a situaciones reales; como ejemplo, podemos considerar la transmisión de señales a través de canales con ruido: en este caso, el ruido perturba los datos transmitidos y el problema es hallar códigos de transmisión y estrategias de reconstrucción que minimicen el error en la recuperación de las señales. En este contexto, los llamados marcos ajustados constituyen una clase importante, no sólo debido a la simpleza de su fórmula de reconstrucción, sino a que además presentan robustez ante problemas que surgen en las aplicaciones, como el mencionado anteriormente. J.J. Benedetto y M. Fickus introducen una herramienta muy útil para el estudio geométrico de los marcos ajustados en espacios de Hilbert de dimensión finita: el potencial de marco (PM) (también llamado potencial de Benedetto-Fickus). Recientemente, ha habido interés en la estructura de marcos que minimizan otro potencial, llamado error medio cuadrático (MSE). El estudio del potencial de marco y del MSE están a su vez relacionados con la noción de mayorización del análisis matricial; en efecto, sucede que esta sencilla noción explica las desigualdades halladas para estos funcionales en la teoría de marcos finitos, así como la estructura espectral de los mínimos (bajo ciertas condiciones de normalización). Este es, a su vez, el punto de partida para el desarrollo de los llamados “potenciales convexos” que incluyen el potencial de marco y el MSE, y que proporcionan una medida de la dispersión del espectro de los operadores de marcos. Como ejemplo específico de los problemas mencionados anteriormente, consideramos la siguiente situación concreta. Sea L2 (Rk) el espacio de Hilbert complejo - con respecto a la medida de Lebesgue - y la representación unitaria de Zk determinada por Tl en L (L2 (Rk)) con l en Zk , donde Tl (f)(x)=f(x-l), para x en Rk. Sea W un subespacio invariante por traslaciones enteras (denominado SIT) de L2 (Rk), es decir que W es invariante bajo la acción de Tl para todo l en Zk. Sea F una familia finita en W. Entonces, la familia generada por traslaciones E (F) está contenida en W. Un problema natural en este contexto es el de describir las posibles estructuras de los marcos E (F) (denominados marcos SG); este problema puede considerarse un problema de diseño estructurado. Concretamente, se trata de describir las relaciones entre el espectro y las normas de tales marcos. Por otro lado, en el caso en que E (F) resulte un marco para W resulta de interés entender la familia de marcos E (G) que resultan duales para E (F), que se obtengan por traslaciones enteras de una familia inicial G. Vale la pena aclarar que la noción de potencial de marco definida por Benedetto y Fickus no tiene una extensión natural al conjunto de marcos para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. Sin embargo, utilizando un entorno adecuado, veremos que es posible extender la noción general de potencial convexo al contexto de marcos E(F) generados por traslaciones de una familia finita F. Estas extensiones caracterizan a los marcos E(F) que son ajustados como sus minimizadores, bajo ciertas restricciones naturales. Esto sugiere a su vez, el estudio de los llamados diseños óptimos con propiedades predeterminadas. Otro resultado de esta tesis, es el de diseño óptimo de marcos. Precisamente, si W y V son subespacios invariantes por traslaciones de L2(Rk), tales que la suma directa de uno de ellos con el ortogonal del otro es L2(Rk) y F es una familia finita tal que E(F) es un marco para W, hemos obtenido condiciones necesarias y suficientes para la existencia de duales oblicuos de E(F). Por otra parte, utilizando la metodología de construcción water-filling se resuelve totalmente el problema de diseño de marcos duales óptimos con restricciones de norma, resultando estos duales más estables que el dual oblicuo canónico. En este trabajo de tesis también hemos desarrollado una extensión del Teorema de Schur-Horn para campos medibles de matrices semi-definidas positivas y tenemos en cuenta las posibles estructuras finas de los marcos SG para SIT's finitamente generados. Este tipo de análisis, también representa un problema de diseño de marco, donde las características prescriptas se obtienen en términos de alguna estructura interna (o bien) es inherente a la sucesión de Bessel SG, relativa a W SIT finitamente generado. Además, mostramos que la teoría de Fan-Pall para campos medibles de matrices semi-definidas positivas puede usarse para obtener una parametrización de sucesiones de Bessel SG con propiedades predeterminadas. A la vez, usamos estos resultados para mostrar que existen mínimos de un potencial convexo arbitrario (pero fijo) con normas predeterminadas. Como herramienta para abordar este problema, consideramos la noción de mayorización en espacios de probabilidades. Además consideramos dos problemas intrínsecos a la dualidad oblicua en dimensión finita. En primer lugar notamos que el dual oblicuo canónico de una rotación rígida de F, en general, no es una rotación rígida del dual oblicuo canónico de F (como si ocurre en la dualidad clásica). Así, calculamos la rotación rígida óptima de W tal que el dual oblicuo canónico de la rotación rígida es óptimo respecto a la submayorización, entre todas las rotaciones rígidas. Esto implica una familia de desigualdades en términos de potenciales convexos. En segundo lugar, consideremos la norma aliasing correspondiente al muestreo consistente asociado a los subespacios V y W. La norma aliasing mide la incidencia del complemento ortogonal de W en el esquema de codificación-decodificación (consistente) correspondiente a la proyección oblicua sobre W a lo lardo de V ortogonal. Calculamos de forma exacta la norma aliasing correspondiente al muestreo consistente. Además introducimos la noción de aliasing para pares duales oblicuos (F, G) que mide la incidencia del complemento ortogonal de W en el esquema de codificación-decodificación (consistente) correspondiente a F y a G. En este contexto calculamos las rotaciones rígidas que minimizan el aliasing de los pares duales para el marco fijo F. Extendemos la noción del aliasing para el caso de subespacios invariantes por traslaciones finitamente generados.