Primitive elements of Galois extensions of finite fields

Abstract

Abstract. As is well known, N?(«) = (1/n) J2d\n ß{d)q"ld coincides with the number of monic irreducible polynomials of GF(q)[X] of degree n . In this note we discuss the curve nNx(n) and the solutions of equations nNx(n) = b (b > n) . As a corollary of these results, we present a necessary and sufficient arithmetical condition for R/K to have a primitive element.

Primitive Elements of Galois Extensions of Finite Fields

“…In [4,6,7] and etc., the authors made some studies on primitive elements of Galois extensions from several angles. On the other hand, the simplicity of separable extensions was recently discussed by J.…”

Sobre a existencia de elemento primitivo para extensões separaveis de aneis comutativos

“…Em [17], estuda-se a existência de elemento primitivo de extensões galoisianas de anéis semilocais. Dentre outras coisas prova-se que se S/Ré uma extensão galoisiana e M ax(R) = {M 1 , .…”

“…Destacamos também os trabalhos de I. Kikumasa, T. Nagahara e K. Kishimoto. Em [17] e [15], faz-se um estudo amplo sobre a existência do elemento primitivo para uma extensão galoisiana de um anel semilocal. Dentre outras coisas, prova-se que se Ré um anel comutativo com unidade e semilocal e M ax(R) = {M 1 , .…”

“…, t}. No Teorema 5 de [16], I. Kikumasa e T. Nagahara encontram condições para que uma extensão cíclica de grau 2 2 possua elemento primitivo. Este resultado foi generalizado por A. Aramova em [1], para extensões cíclicas de grau p n , onde pé um número primo positivo.…”

“…[26, Teorema 2.4] Sejam R um LG anel e A/R uma extensão fortemente separável de posto constante igual a n. Se para cada M ∈ M ax(R) temos R M ≥ n então A/R tem elemento primitivo.Demonstração: Seja M ∈ M ax(R). Da mesma forma que em[17, Corolário …”