Principe local-global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II

Abstract

Diego IZQUIERDO le jour. Je suis aussi très reconnaissant à Jean-Louis Colliot-Thélène et à Tamás Szamuely pour leurs commentaires et leurs remarques. Je voudrais finalement remercier l'École Normale Supérieure pour ses excellentes conditions de travail. NotationsCorps. Si l est un corps, on notera l s sa clôture séparable. Si de plus l est un corps de valuation discrète complet, on notera l nr son extension non ramifiée maximale.Groupes abéliens. Pour M un groupe topologique abélien (éventuellement muni de la topologie discrète), n > 0 un entier et ℓ un nombre premier, on notera : • M tors la partie de torsion de M.• n M la partie de n-torsion de M.• M{ℓ} la partie de torsion ℓ-primaire de M.• M non−ℓ = p =ℓ M{p} où p décrit les nombres premiers différents de ℓ.• M (ℓ) le complété pour la topologie ℓ-adique de M.• M ∧ la limite projective des M/nM.• T ℓ M la limite projective des ℓ r M.• M div le sous-groupe divisible maximal de M.• M = M/M div le quotient de M par son sous-groupe divisible maximal.• M D le groupe des morphismes continus M → Q/Z. Un groupe abélien de torsion sera dit de type cofini si, pour tout entier naturel n > 0, sa n-torsion est finie. La partie ℓ-primaire d'un tel groupe est la somme directe d'un ℓ-groupe abélien fini et d'une puissance finie de Q ℓ /Z ℓ .Faisceaux et cohomologie. Sauf indication du contraire, tous les faisceaux sont considérés pour le petit site étale. Soit r ≥ 0. Pour F et G deux faisceaux fppf sur un schéma X, on note Ext r X (F, G) (ou Ext r (F, G) s'il n'y a pas d'ambigüité) le faisceau associé pour la topologie étale au préfaisceau T → Ext r T f ppf (F, G). On rappelle qu'avec cette définition, la formule de Barsotti-Weil garantit que, si A est une variété abélienne sur un corps k, alors la variété abélienne duale A t représente le faisceau Ext 1 k (A, G m ) (voir par exemple le théorème III.18.1 de [Oor66]). Par ailleurs, en mimant les notations pour les groupes abéliens, on pose, pour F un faisceau sur un schéma X et l un nombre premier, H r (X,Catégories dérivées. Nous serons amenés quelques fois à considérer des catégories dérivées. On notera alors − ⊗ L − le produit tensoriel dérivé. Corps locaux supérieurs. Les corps 0-locaux sont par définition les corps finis et le corps C((t)). Pour d ≥ 1, un corps d-local est un corps complet pour une valuation discrète dont le corps résiduel est (d − 1)-local. On remarquera que cette définition est plus générale que la définition standard. Lorsque k est un corps d-local, on notera k 0 , k 1 , ..., k d les corps tels que k 0 est fini ou C((t)), k d = k, et pour chaque i le corps k i est le corps résiduel de k i+1 . On rappelle

L’espace adélique d’un tore sur un corps de fonctions

“…Théorème 4.23. L'accouplement (12) est un accouplement parfait entre une limite inductive de groupes profinis et une limite projective de groupes discrets de torsion.…”

“…Ces dernières années, plusieurs travaux se sont penchés sur des questions arithmétiques classiques liées aux groupes algébriques sur ces corps de fonctions, comme le principe local-global pour leurs espaces principaux homogènes ou encore l'approximation faible (c'est-à-dire la densité de l'ensemble des points rationnels G(K) dans v∈X (1) G(K v ), ce dernier groupe étant équipé de la topologie produit). Mentionnons par exemple [3], qui établit l'approximation faible pour k algébriquement clos, les travaux [9] et [8] qui traitent du cas où k est p-adique, l'article [7] qui concerne le cas k = C((t)), et les diverses généralisations [11], [12] au cas où k est un corps local supérieur. L'origine de ce travail est l'article [2] de J.-L. Colliot-Thélène, lequel s'intéresse quand k = C à la question de l'approximation forte pour G, c'est-à-dire à la densité de G(K) dans un espace adélique G(S, A K ), ce dernier étant équipé de la topologie de produit restreint (et non plus comme pour l'approximation faible de celle induite par la topologie produit sur v∈U (1) G(K v )).…”

“…Ces dernières années, plusieurs travaux se sont penchés sur des questions arithmétiques classiques liées aux groupes algébriques sur ces corps de fonctions, comme le principe local-global pour leurs espaces principaux homogènes ou encore l'approximation faible (c'est-à-dire la densité de l'ensemble des points rationnels G(K) dans v∈X (1) G(K v ), ce dernier groupe étant équipé de la topologie produit). Mentionnons par exemple [3], qui établit l'approximation faible pour k algébriquement clos, les travaux [9] et [8] qui traitent du cas où k est p-adique, l'article [7] qui concerne le cas k = C((t)), et les diverses généralisations [11], [12] au cas où k est un corps local supérieur.…”

“…fait analogue à l'accouplement(12), à condition de remplacer la dualité de Poincaré entre H 1 c (U, n T ) et H 1 (U, n T ) par la dualité d'Artin-Verdier ([7], Proposition 5.1) entre H 1 c (U, n T ) et H 2 (U, T /n). Il faut ensuite remarquer que, dans la preuve du lemme 4.21, le groupe Ker T…”

Local-global principles for homogeneous spaces over some two-dimensional geometric global fields

“…[CTH15]) and the first author (cf. [Izq17]) have then defined a Brauer-Manin obstruction to this local-global principle and proved that it is the only obstruction for principal homogeneous spaces under connected linear algebraic groups.…”