Probl�me de Neumann sur les espaces harmoniques

Abstract

L'essai de r+soudre le probl6me de Neumann sur une vari6t6 ouverte a 6t6, peut&re commenc6 par Kuramochi (1954). Comme la solution du probl6me de Dirichlet, la solution du probl6me de Neumann doit ~tre naturellement associbe /l t'op6rateur (hypo-) elliptique consid6r6, c'est-/t-dire qu'elle sera d6termin6e seulement par la propri6t6 de l'op6rateur, tandis que les autres probl6mes au bord n6cessitent quelque condition adjointe (plus au moins arbitraire) sur le bord; par exemple, le champ de vecteurs donn6 sur la fronti6re. Nous r6solvons le probl6me de Neumann dans le cadre de l'espace harmonique sym6trique de M. Brelot. I1 s'applique it la vaste classe des op6rateurs elliptiques (ou hypoelliptiques) de second ordre.Sur une vari6t6 ouverte, r6soudre le probl6me au bord, c'est d6terminer une classe de fonctions harmoniques dont le comportement pros de la fronti6re id6ale imite la condition au bord.Suivant notre formulation c'est donner un sous-faisceau du faisceau de fonctions harmoniques et surtout, donner les germes au point tt l'infini de ce faisceau. Dans [7] nous appelons un tel faisceau le faisceau harmonique sur le compactifi~ d'Alexandroff de respace de base. La th6orie g6n6rale d'un tel faisceau a 6t6 d6velopp6e dans [6,10,14], mais nous n'avions donn6 qu'un exemple propre (celui du probl6me de Dirichlet) dans le cas g6n6ral, et ici nous donnons le deuxi6me exemple (le faisceau harmonique du probl6me de Neumann).Les sections 1 et 2 sont pr61iminaires. Nous citons quelques r6sultats de [3,7]. Les lecteurs qui ne veulent pas suivre la longue 6tude du faisceau harmonique trait6 dans [6,7] peuvent d6passer la section 2 apr6s un aperqu sur les notations et les propri6t6s suivantes:(1) Toute fonction harmonique hors d'un compact se d6compose en la somme d'une fonction harmonique dans tout l'espace et une fonction qui y est harmonique et satisfait la condition au bord de Dirichlet. (Nous appelons cette propri6t6 la d6composition de Cousin.) (2) La multiplication de deux fonctions harmoniques (dans tout espace) peut ~tre 6crit selon la diff6rence de deux fonctions surharmoniques.

La théorie des espaces fonctionnels à nullité 1 et le problème de Neumann sur les espaces harmoniques

“…Pour la démonstration nous aurons besoin de localiser l'espace (H, D( , )) au domaine co : C'est la méthode que nous avons adaptée dans notre article précédent [8].…”

“…Cela montre que l'injection / est compacte. x->^ 6) Nous avons introduit [8] le noyau Q de Naïm sur X qui joue un rôle important dans les problèmes au bord, en théorie axiomatique du potentiel, aussi bien que dans l'étude du comportement à la frontière des fonctions surharmoniques.…”

“…Nous allons expliquer l'espace de Dirichlet des fonctions harmoniques dans un domaine o, complémentaire d'un compact de X. Tel espace a été introduit dans [8] pour résoudre le problème de Dirichlet extérieur dans co, dont la condition à l'infini est celle de Neumann. Ici nous l'adaptons pour montrer le principe du minimum ci-dessus.…”