Propiedades topológicas del tipo estrella P

Abstract

Definición 1.1.4. Un espacio de Tychonoff X es pseudocompacto si para cada f ∈ C(X), se tiene que f [X] es acotado en R, es decir, C(X) = C * (X).Proposición 1.1.5. Si X es un espacio de Tychonoff numerablemente compacto, entonces X es pseudocompacto.Demostración. Sea f → R una función continua, entonces f [X] es numerablemente compacto en R. Como ser compacto y numerablemente compacto son propiedades equivalentes en espacios métricos, tenemos que f [X] compacto, por lo tanto f [X] es acotado.El siguiente lema es el Corolario 3.10.27 de [6].Lema 1.1.6. Si X es un espacio pseudocompacto y Y es un espacio compacto, entonces X × Y es pseudocompacto.Lema 1.1.7. Sea X un espacio topológico de Tychonoff y D ⊆ X un subespacio denso y pseudocompacto, entonces X es pseudocompacto. DemostraciónPor lo tanto X es pseudocompacto.Ejemplo 1.1.8. Existe un espacio que es pseudocompacto y que no es numerablemente compacto.