Purity and quasi-split torsors over Prüfer bases

Abstract

We establish an analogue of the Zariski-Nagata purity theorem for finite étale covers on smooth schemes over Prüfer rings by demonstrating Auslander's flatness criterion in this non-Noetherian context. We derive an Auslander-Buchsbaum formula for general local rings, which provides a useful tool for studying the algebraic structures involved in our work. Through the analysis of reflexive sheaves, we prove various purity theorems for torsors under certain group algebraic spaces, such as the reductive ones. Specifically, using results from [EGA IV 4 ] on parafactoriality on smooth schemes over normal bases, we prove the purity for cohomology groups of multiplicative type groups at this level of generality. Subsequently, we leverage the aforementioned purity results to resolve the Grothendieck-Serre conjecture for torsors under a quasi-split reductive group scheme over schemes smooth over Prüfer rings. Along the way, we also prove a version of the Nisnevich purity conjecture for quasi-split reductive group schemes in our Prüferian context, inspired by the recent work of Česnavičius [Čes22b].Résumé (Pureté et torseurs quasi-déployés sur les bases de Prüfer). -Nous établissons un analogue du théorème de pureté de Zariski-Nagata pour les revêtements étales sur les schémas lisses sur les anneaux de Prüfer en démontrant le critère de platitude d'Auslander dans ce contexte non noethérien. Nous dérivons une formule d'Auslander-Buchsbaum pour les anneaux locaux généraux, qui fournit un outil utile pour étudier les structures algébriques impliquées dans notre travail. Grâce à l'analyse des faisceaux réflexifs, nous prouvons divers théorèmes de pureté pour les torseurs sous certains espaces algébriques en groupes, notamment ceux qui sont réductifs. En particulier, en utilisant des résultats de [EGA IV 4 ] sur la parafactorialité sur les schémas lisses sur des bases normales, nous prouvons la pureté pour les groupes de cohomologie des groupes de type multiplicatif à ce niveau de généralité. Ensuite, nous utilisons les résultats de pureté susmentionnés pour résoudre la conjecture de Grothendieck-Serre pour les torseurs sous un schéma en groupes réductifs quasi-déployés sur des schémas lisses sur des anneaux de Prüfer. Nous prouvons également une version de la conjecture de pureté de Nisnevich pour les schémas en groupes réductifs quasi-déployés dans notre contexte prüferien, inspirée par les travaux récents de Česnavičius [Čes22b].