Quadrilateral finite elements of FVS type and class $C^\rho$

Abstract

Let P be some partition of a planar polygonal domain Ω into quadrilaterals. Given a smooth function u, we construct piecewise polynomial functions υ ∈ C ρ (Ω) of degree n = 3ρ for ρ odd, and n = 3ρ + 1 for ρ even on a subtriangulation τ 4 of P . The latter is obtained by drawing diagonals in each Q ∈ P , and υ|Q is a composite quadrilateral finite element generalizing the classical C 1 cubic Fraeijs de Veubeke and Sander (or FVS) quadrilateral. The function υ interpolates the derivatives of u up to order ρ + [ρ/2] at the vertices of P . Polynomial degrees obtained in this way are minimal in the family of interpolation schemes based on finite elements. Classification (1991): 41A15, 41A05, 65D07, 65D051 65N30 Mathematics Subject

Macro-elements and stable local bases for splines on Powell-Sabin triangulations

“…In [18] we do this for the well-known Clough-Tocher split. For results on quadrangulations, see [14], [17].…”

Nonlinear Approximation from Differentiable Piecewise Polynomials

“…The other case is that of FVS-triangulations obtained from arbitrary srictly convex quadrangulations by adding two diagonals of each quadrilateral, see, e.g., [20,43]. Here, a well-known composite finite element due to Fraeijs de Veubeke and Sander gives rise to a stable local basis for C 1 cubics, while for higher orders of differentiability only non-nested superspline-type constructions are known [40,45,46]. Proof.…”

Un schéma d'interpolation rationnel sur un quadrilatère de classeC2

“…Il aétéétabli dans [11] que l'élément fini classique de type FVS, de classe C 1 dont le polynôme sur chaque triangle T l est de degré 3 est optimal dans le sens où il jouit de la propriété du plus bas degré polynômial. Cela ne nous empêche pas de construire des schémas de degré plusélevé.…”

“…le calcul des dérivées normales de g d'ordre ≤ 2 sur chaque côté σ de T ∈ ∆ (resp. Q ∈ Q) dépend uniquement des données sur σ. sujet [10,15], et plus récemment les travaux de Laghchim-Lahlou et Sablonnière [8,9,11] sur leséléments finis composites). Par ailleurs, [2] et [14] ont construit des schémas dont l'ordre maximum des degrés de libertééxigé est 2 (voir aussi [12]).…”

“…Nous savons d'après Laghchim-Lahlou et Sablonnière [11] qu'un tel interpolant existe si et seulement si le degré du polynôme sur chaque sous-triangle est au moinségalà 7 et que l'ordre des données des dérivées aux sommets est au moins 3. Si on veut construire unélément avec un tel ordre ne dépassant pas 2, tout en respectant l'ordre de régularité global sur le domaine Ω, il est nécessaire d'introduire certaines fonctions rationnelles appropriées.…”