Quantum-classical correspondence for the inverted oscillator

Abstract

While quantum-classical correspondence for a system is a very fundamental problem in modern physics, the understanding of its mechanism is often elusive, so the methods used and the results of detailed theoretical analysis have been accompanied by active debate. In this study, the differences and similarities between quantum and classical behavior for an inverted oscillator have been analyzed based on the description of a complete generalized Airy function-type quantum wave solution. The inverted oscillator model plays an important role in several branches of cosmology and particle physics. The quantum wave packet of the system is composed of many sub-packets that are localized at different positions with regular intervals between them. It is shown from illustrations of the probability density that, although the quantum trajectory of the wave propagation is somewhat different from the corresponding classical one, the difference becomes relatively small when the classical excitation is sufficiently high. We have confirmed that a quantum wave packet moving along a positive or negative direction accelerates over time like a classical wave. From these main interpretations and others in the text, we conclude that our theory exquisitely illustrates quantum and classical correspondence for the system, which is a crucial concept in quantum mechanics.

О Квантовом Аналоге Неустойчивых Предельных Циклов Периодически Возмущаемого Перевернутого Осциллятора

“…рис. [3][4][5][6] а) негармонические колебания центра пакета около некоторой линии в течение примерно двух основных "периодов" времени, т. е. 0 τ < 11 ÷ 14 ≈ 2 • 2π, затем резкий уход в сторону бесконечности; б) бифуркации направления ухода центра пакета ξ(τ ) в положительную либо отрицательную полуось при изменении фазы ϕ на пренебрежимо малую величину порядка 10 −15÷−20 ; в) особенность поведения ξ(τ ) в окрестности момента разворота потока τ 1 , т. е. вблизи точки коллапса (см.…”

“…Исследованная проблема ставит комплекс разнообразных теоретических, экспериментальных и фундаментально научных вопросов, связанных как с реализацией исходной волновой функции, так и с эволюцией негауссовских пакетов и при обобщенном стабилизирующем воздействии (6), а также с осуществлением в случае перевернутого квантового осциллятора основополагающего принципа соответствия [6].…”

“…Также модель дает интересные результаты в дискретном конфигурационном пространстве, когда разностное уравнение Шредингера допускает "удержание волн на потенциальном склоне" [4], [5]. С чисто фундаментальной точки зрения инвертированный гармонический осциллятор (ИГО) интересен в связи с определенными трудностями в плане реализации принципа соответствия между классической и квантовой теориями [6].…”

Quantum inverted harmonic potential

“…The harmonic oscillator problem in quantum theory is an exactly solvable problem and can be used to model various physical systems. The inverted harmonic potential, a less known parabolic potential, has attracted some attention over the years [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12] because it has a wide range of application in many branches of physics. For example, an LC circuit with negative inductance and capacitance in quantum mesoscopic system is described by a model with an effective inverted harmonic potential [13].…”