Quasi-measures, Hausdorff $ p$-measures and Walsh and Haar series

Decomposition of dyadic measures and unions of closed $\mathscr{U}$-sets for series in a Haar system

“…При m = 1 все указанные виды сходимости превращаются в обычную сходимость. Хорошо известно (см., например, [7], [8]), что каждый ряд (5.1) порождает квазимеру ψ по следующему правилу:…”

“…доказана для классов рядов (0.1), чьи коэффициенты при некотором p ∈ [0, 1] удовлетворяют условию a n = o(n p−1/2 ) при n → ∞ (классы Вэйда). В [7] содержится обобщение результата Вэйда на случай кратных рядов Хаара.…”

“…При доказательстве основных результатов будет еще раз показана глубокая связь между рядами Хаара и порождаемыми ими конечно-аддитивными двоичными мерами (называемыми квазимерами). Эта связь уже вскрывалась во многих статьях (см., например, [7]- [12]). Из рассуждений и результатов настоящей работы будет видно, что справедливость теоремы Бари для рядов Хаара тесно связана с доказанной ниже теоремой о разложении двоичных мер: любая двоичная мера, сосредоточенная на счетном объединении i A i замкнутых множеств, есть сумма мер, каждая из которых сосредоточена на одном из множеств A i .…”