Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

Abstract

В работе обсуждается гипотеза А. Т. Фоменко о реализации интегрируемыми биллиардами топологии слоений Лиувилля гладких и аналитических интегрируемых гамильтоновых систем. Изложен алгоритм Ведюшкиной-Харчевой реализации биллиардными книжками 3-атомов, значительно упростившийся благодаря его формулировке в терминах f -графов. Отметим, что произвольный тип базы слоения Лиувилля на всей изоэнергетической 3-поверхности был также реализован В. В. Ведюшкиной и И. С. Харчевой с помощью другого алгоритма. В работе он наглядно проиллюстрирован на примере реализации инварианта известной интегрируемой системы Жуковского (случай Эйлера с гиростатом) в определенной зоне энергии. Как оказалось, при этом было реализовано и само слоение Лиувилля, а не только класс его базы, т. е. получена лиувиллева эквивалентность биллиардной и механической систем. Затем изложены результаты В. В. Ведюшкиной и В. А. Кибкало по построению биллиардов с произвольными числовыми инвариантами. Далее для биллиардных книжек без потенциала с определенным свойством доказано существование инварианта Фоменко-Цишанга и их принадлежность к классу топологически устойчивых систем. В конце приведен пример, когда добавление потенциала Гука к плоскому биллиарду порождает расщепляющуюся невырожденную 4-особенность ранга 1.

Integrable billiards on a Minkowski hyperboloid: extremal polynomials and topology

“…In the case of a transverse H-ellipse the unmarked version of the Fomenko graph in Figure 5 is represented by a billiard book which is constructed by gluing together two copies of the billiard book representing the 3-atom B; see § 2 of [31] for a direct construction of this billiard book.…”