Reconstrução de condutividade térmica ortotrópica com método pseudoespectral de Chebyshev e aplicações

Abstract

Resumo. Em trabalhos recentes, estudamos um problema de condução de calor em um domínio retangular modelado por uma EDP com condições de fronteira mistas e condição inicial, e envolvendo parâmetros tais como capacidade térmica, condutividade, entre outros. Conhecer a condutividade térmica de um material é assunto de importância em processos industriais e tem se tornado um tópico ativo de pesquisa das últimas décadas. Fornecemos uma forma de discretizar o modelo original através do método pseudo-espectral de Chebyshev nas variáveis espaciais, pelas suas boas propriedades de aproximação com baixo custo numérico, e a regra do trapézio na variável temporal, pela segunda ordem de convergência e estabilidade absoluta. O problema inverso de aproximar a condutividade térmica a partir de dados capturados da temperatura é então elaborado como um problema de mínimos quadrados não lineares, que faz uso recorrente da discretização pregressa. A minimização é feita através de uma versão do método de Levenberg-Marquardt (LMM) com matrizes de scaling singular escolhidas para representarem operadores de derivação discretos de primeira e segunda ordens, com a intenção de introduzir suavidade nos iterados construídos. A motivação para tal vem de bons resultados de técnicas similares em problemas lineares através, por exemplo, da regularização de Tikhonov. Para amenizar o efeito de imprecisões nos dados de temperatura fornecidos, o princípio da discrepância (DP) é utilizado como critério de parada. Resultados numéricos sintéticos e para dados experimentais ilustram o potencial da técnica proposta, com reconstruções de qualidade a um baixo custo operacional, mesmo em situações com medições restritas.Palavras-chave. Problemas inversos. Métodos iterativos. Condutividade térmica. Método pseudo-espectral de Chebyshev. Método de Levenberg-Marquardt com scaling singular. Princípio da discrepância.