Representação de Weierstrass em variedades Riemannianas e Lorentzianas

Abstract

O Teorema de Representação de Weierstrass clássico, que faz uso da análise complexa para descrever uma superfície mínima imersa no espaço Euclidiano em termos de dados holomorfos, tem sido extremamente útil seja para construir novos exemplos de superfícies mínimas, seja para o estudo das propriedades destas superfícies. Em [24], usando a equação harmônica, os autores determinam uma fórmula de representação para superfícies mínimas, simplesmente conexas, imersas em uma variedade Riemanniana qualquer. Neste caso, a condição de holomorficidade dos dados de Weierstrass consiste em um sistema de equações diferenciais parciais com coeficientes não constantes. Logo, em geral, é complicado determinar soluções explícitas. No entanto, escolhendo adequadamente o espaço ambiente, tais equações se simplificam e a fórmula pode ser usada para produzir novos exemplos de imersões mínimas conformes. vi No espaço de Lorentz-Minkowski tridimensional uma fórmula de representação tipo-Weierstrass foi provada por Kobayashi, para o caso das imersões mínimas de tipo espaço (ver [18]), e por Konderak no caso das imersões mínimas de tipo tempo (ver [20]). Na demonstração destas fórmulas se utilizam as ferramentas da análise complexa e paracomplexa, respectivamente. Recentemente, em [22] os resultados de Kobayashi e Konderak foram generalizados para o caso de superfícies mínimas (de tipo espaço e de tipo tempo) imersas em 3-variedades Lorentzianas. Nesta dissertação estudaremos as fórmulas de representação de Weierstrass para superfícies mínimas imersas em variedades Riemannianas e Lorentzianas, que foram obtidas nos artigos [18], [20], [22] e [24].

Age and Descriptive Representation in Southern Europe: The Impact of the Great Recession on National Parliaments

“…For each country we chose one legislature elected before the start of the crisis and the most recently elected legislature. More precisely, we selected legislatures 2005-2009-2023for Portugal, 2004-2008-for Spain, 2006-2008-for Italy, 2004-2007 Greece. In the following comparative section before the conclusions, we also consider a third case -the crisis legislature -for each country (Table 6).…”

“…Third, for each country and legislature we consider four elements (for each group of parties): voters or MPs below 30 and 40 years old; voters' or MPs' average and median age. The period under consideration encompasses a legislature before the crisis (2005-2009in Portugal, 2004-2008in Spain, 2006-2008in Italy, and 2004-2007, the crisis legislatures mentioned earlier and a post-crisis legislature in each country (the legislature elected in 2019 in Portugal, Spain and Greece, and the legislature elected in 2018 in Italy).…”