Representations of the fundamental group of a surface in and holomorphic triples

Abstract

Abstract. We count the connected components in the moduli space of PU(p, q)-representations of the fundamental group for a closed oriented surface. The components are labelled by pairs of integers which arise as topological invariants of the flat bundles associated to the representations. Our results show that for each allowed value of these invariants, which are bounded by a Milnor-Wood type inequality, there is a unique non-empty connected component. Interpreting the moduli space of representations as a moduli space of Higgs bundles, we take a Morse theoretic approach using a certain smooth proper function on the Higgs moduli space. A key step is the identification of the function's local minima as moduli spaces of holomorphic triples. We prove that these moduli spaces of triples are non-empty and irreducible.Représentations du groupe fondamental d'une surface dans PU(p, q) et triplés holomorphes Résumé. Nous comptons le nombre de composantes connexes de l'espace des modules de représentations du groupe fondamental d'une surface compacte orientée dans PU(p, q). Les invariants topologiques du fibré plat correspondant permettent d'associerà une telle représentation deux entiers, dont la valeur est bornée par une inégalité du type Milnor-Wood. Nous montrons que pour n'importe quelle valeur autorisée de ces invariants, il existe une unique composante connexe non vide dans l'espace des modules. Notre méthode utilise l'interprétation de l'espace des modules de représentations comme un espace des modules de fibrés de Higgs. L'analyse des minimum locaux d'une certaine fonction propre définie sur l'espace des modules est unélément clé de la démonstration : nous identifions ces ensembles avec l'espace des modules de triplés holomorphes et démontrons que ces espaces de modules sont non vides et irréductibles. Version française abrégéeSoit X une surface compacte de genre g ≥ 2 et soit G un groupe de Lie connexe. L'ensemble des représentations réductives Hom + (π 1 X, G) du groupe fondamental de X dans G est une variété analytique réelle et par conséquent un espace topologique avec une topologie analytique. On a une action par conjugaison de G sur Hom + (π 1 X, G) et on munit l'espace des modulesde la topologie quotient; c'est un espace de Hausdorff parce que nous ne considérons que des représentations réductives. Il est bien connu que M G peutégalementêtre interprété comme l'espace des modules de G-fibrés plats sur X . Cet espace qui est une source d'intérêt tant en mathématiques qu'en physique á etéétudié largement du point de vue de la topologie, des théories de jauge et de la géométrie algébrique. L'objet de cet article est de déterminer le nombre de composantes connexes de M G dans le cas où

Hitchin–Kobayashi Correspondence, Quivers, and Vortices

“…Now, for this twisted quiver bundle one can consider the general quiver equations. Although they only coincide with Hitchin's equations (6.1) for a particular choice of the parameters, it turns out that the other values are very important to study the topology of the moduli of representations of π 1 (X) into U(p, q) [BGG1].…”

“…Here, the quiver has two vertices, say 1 and 2, and two arrows, a : 1 → 2 and b : 2 → 1, and the twisting bundle associated to each arrow is the holomorphic tangent bundle. These are studied in [BGG1,BGG2].…”

Maximal surface group representations in isometry groups of classical Hermitian symmetric spaces

“…[3,4,16,17,20,S.B. Bradlow et al, in preparation] for details.• G = SU(n, n): An SU(n, n)-Higgs bundle over X is defined by a 4-tuple (V, W, β, γ ) consisting of two holomorphic vector bundles V and W of rank n such that det W = (det V) −1 , and homomorphisms β : W −→ V ⊗ K and γ : V −→ W ⊗ K.…”

Untitled

“…After the completion of this paper, S. Bradlow, O. Garcia-Prada and P. Gothen announced that all moduli spaces of flat PU(p, q)-structures with fixed Chern class and Toledo invariant, are connected [3].…”