Segre varieties and Lie symmetries

Abstract

We show that biholomorphic automorphisms of a real analytic hypersurface in C n+1 can be considered as (pointwise) Lie symmetries of a holomorphic completely overdetermined involutive second order PDE system defining its Segre family. Using the classical S.Lie method we obtain a complete description of infinitesimal symmetries of such a system and give a new proof of some well known results of CR geometry.

New extension phenomena for solutions of tangential Cauchy–Riemann equations

“…To every Levi nondegenerate real hypersurface M ⊂ C N we can associate a system of second order holomorphic PDEs with 1 dependent and N − 1 independent variables, using the Segre family of the hypersurface. This remarkable construction goes back to E. Cartan [10], [9] and Segre [36] (see also [42]), and was recently revisited in [38], [39], [33], [17], [27], [28], [25] (see also references therein). We describe this procedure in the case N = 2 relevant for our purposes.…”

“…The "mediator" between a CR-manifold and the associated PDE system is the Segre family of the CR-manifold. Unlike the nondegenerate setting in the cited work [9,36,38,39], the CR -DS technique deals systematically with the degenerate setting, providing sort of a dictionary between CR-geometry and Dynamical Systems. We refer to Section 2 for further details and references and briefly mention here that, using the CR -DS technique, we can interpret infinitesimal CR-automorphisms as Lie symmetries of the associated dynamical systems (singular differential equations).…”

Le problème d’équivalence locale pour un système scalaire complet d’équations aux dérivées partielles d’ordre deux à n variables indépendantes

“…-Leséquations de structure (3.30) nous permettent d'écrire la relation d 2 ψ = 0 sous la forme : [17], [18], la dimension réelle du groupe de Lie Aut(H) est inférieure oú egaleà la dimension complexe du groupe de symétrie de (S). A l'aide du théorème 5.1, nous retrouvons donc le faitétabli dans [5] que les seules hypersurfaces réelles analytiques Levi non dégénérées qui admettent un groupe d'automorphismes de dimension n 2 + 4n + 3 sont celles auxquelles on peut associer le système (S 0 ), c'està direà biholomorphisme près, les quadriques de C n+1 .…”

“…Puis nous calculons les dérivées w zj z k dans lesquelles nous rempalçons ζ et ω par leurs expressions en fonction des variables z, w et w z k . Nous pouvons donc affirmer que ces variétés de Segre sont exactement les graphes des solutions d'un système (S) complète-ment intégrable au voisinage de l'origine [17], [18]. Observons que (S 0 ) est le système d'équations différentielles associé aux variétés de Segre des quadriques de C n+1 .…”

“…C'est sur leur approche du problème d'équivalence que nous nous basons pour donner une formulation algorithmique de la démonstration de S.S Chern dans [4] qui nous permet d'aboutirà une caractérisation des systèmes (S)équivalentsà (S 0 ) par la dimension de leurs groupes de symétrie. Nous montrons en effet a partir des travaux de A. Sukhov [17] que (S 0 ) est le seul systèmeà equivalence près parmi les systèmes (S)à avoir un groupe de symétrie de dimension maximale n 2 + 4n + 3. Ce résultat aété démontré par S. Lie [1] dans le cas n = 1.…”