Set colorings in perfect graphs

Abstract

Institute of Mathematics of the Czech Academy of Sciences provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use.

The set chromatic number of random graphs

“…We get that χ(G) ≤ 2 χs(G) , or equivalently, χ s (G) ≥ log 2 χ(G). With slightly more work, one can improve this lower bound by 1 (see [8]), which is tight (see [2]).…”

“…To finish the proof of (6), set s = z 2 + (1 − z) 2 and observe that 1/2 ≤ s ≤ 1, since 1/2 ≤ z ≤ 1. Now we move to the proof of (7).…”

Himpunan Pewarnaan Pada Graf Sempurna

“…Didefinisikan dalam [2] N k = {1, 2, ..., k} untuk setiap k adalah bilangan bulat positif. Untuk suatu graf terhubung nontrivial G, c : V (G) → N k merupakan suatu pewarnaan titik di G dimana titik-titik yang bertetangga boleh diwarnai dengan warna yang sama.…”

“…Menentukan bilangan kromatik himpunan χ s (G) pada graf sempurna tidak lebih mudah dari pada menentukan bilangan kromatik χ(G) yang dapat dihitung dalam waktu polinomial untuk setiap kelas pada graf sempurna. Dalam [2] dijelaskan bahwa jika graf G adalah anggota dari suatu kelas pada graf sempurna, dan apabila graf G tersebut bisa menunjukkan bahwa χ s (G) = χ(G) untuk setiap anggota dari kelas tersebut, maka χ s (G) dapat dihitung secara efisien untuk setiap graf dalam kelas tersebut dengan menggunakan suatu algoritma untuk menghitung χ(G).…”

“…Dalam hal ini, akan dicoba dengan menggunakan suatu graf yang masih berhubungan dengan graf split, yaitu graf threshold. [3] Berikut adalah definisi graf threshold yang diberikan oleh Gera [2], Misal δ 0 = 0, dan misal δ 1 < δ 2 < ... < δ k adalah derajat titik positif berbeda di G. Bukti. Misalkan G = (V, E) adalah graf threshold.…”