Simetrias globais e locais em teorias de calibre

Local symmetries in gauge theories in a finite-dimensional setting

“…As an example, note that for f in C ∞ (M, N ), its tangent map T f , which we shall also denote by ∂f , is in Hom(T M, T N ). 7 Variations δϕ of a section ϕ of a fiber bundle E over M are formal first order derivatives of oneparameter families (ϕ s ) −ǫ<s<ǫ of sections of E around ϕ with respect to the parameter (ϕ 0 = ϕ, dϕ s /ds | s=0 = δϕ) and are therefore sections of the pull-back ϕ * (V E) of the vertical bundle V E of E to M via ϕ. If, formally, one considers the space Γ(E) of sections of E as a manifold, they form its tangent space at ϕ: T ϕ (Γ(E)) = Γ(ϕ * (V E)).…”

“…The main goal of the present paper, which is based on the PhD thesis of the second author [7], is to show how one can implement the same program -recasting local symmetries in a purely finite-dimensional setting -in field theory, that is, for full-fledged gauge theories and in a completely geometric setup. As we shall see, this requires an important extension of the mathematical tools employed to describe symmetries: the passage from Lie groups and their actions on manifolds to Lie group bundles and their actions on fiber bundles (over the same base manifold).…”

“…where the symbol · on the rhs now stands for the induced action (3) of G on T Q and we have used the symbols δϕ and Dϕ to indicate that the transformation laws of these objects correspond to those of variations of sections 7 and of covariant derivatives 6 Among these function spaces we will find spaces of the form Hom(E, F ), where E and F are vector bundles over (possibly different) manifolds M and N , respectively, consisting of all vector bundle homomorphisms from E to F , that is, of all smooth maps from the manifold E to the manifold F which are fiber preserving and fiberwise linear. As an example, note that for f in C ∞ (M, N ), its tangent map T f , which we shall also denote by ∂f , is in Hom(T M, T N ).…”

Introdução ao grupo SO(4) com aplicações à Física: transformação de Galilei e átomo de hidrogênio

“…Simetrias na Física são extremamente importantes [18], pois podem indicar quais são as quantidades conservadas em um dado sistema físico. A relação entre simetrias e leis de conservação é dada pelo célebre teorema de Noether [19,20].…”

Grupoides de Lie e o teorema de Noether em teoria de campos no âmbito hamiltoniano

“…Em um trabalho anterior desenvolvido no grupo de pesquisa do qual o autor faz parte, dando origem a uma tese de doutorado [22] cujos resultados principais foram publicados recentemente [8], foi dado um primeiro passo para concretizar este programa de "redução de simetrias locais a dimensão finita", noâmbito do formalismo lagrangiano e para o caso particular de fibrados de grupos de Lie (que podem ser vistos como grupoides de Lie totalmente intransitivos), o que permite tratar de simetrias locais "internas", ou simetrias de calibre. Faltou estender o procedimento aoâmbito do formalismo hamiltoniano covariante e para o caso de grupoides de Lie em geral, a fim de incluir simetrias locais que agem não-trivialmente no espaço-tempo.…”