Small-amplitude steady water waves with vorticity

Abstract

The problem of describing two-dimensional traveling water waves is considered. The water region is of finite depth and the interface between the region and the air is given by the graph of a function. We assume the flow to be incompressible and neglect the effects of surface tension. However we assume the flow to be rotational so that the vorticity distribution is a given function depending on the values of the stream function of the flow. The presence of vorticity increases the complexity of the problem and also leads to a wider class of solutions.First we study unidirectional waves with vorticity and verify the Benjamin-Lighthill conjecture for flows whose Bernoulli constant is close to the critical one. For this purpose it is shown that every wave, whose slope is bounded by a fixed constant, is either a Stokes or a solitary wave. It is proved that the whole set of these waves is uniquely parametrised (up to translation) by the flow force which varies between its values for the supercritical and subcritical shear flows of constant depth. We also study largeamplitude unidirectional waves for which we prove bounds for the free-surface profile and for Bernoulli's constant.Second, we consider small-amplitude waves with counter currents. Such flows admit layers, where the fluid flows in different directions. In this case we prove that the initial nonlinear free-boundary problem can be reduced to a finite-dimensional Hamiltonian system with a stable equilibrium point corresponding to a uniform stream. As an application of this result, we prove the existence of non-symmetric wave profiles. Furthermore, using a different method, we prove the existence of periodic waves with an arbitrary number of crests per period.i ii Populärvetenskaplig sammanfattningI denna avhandling betraktar vi problemet att beskriva tvådimensionella vandrande vattenvågor. Vattenregionen antas ha ändligt djup och ytan mellan området och luften beskrivs av grafen till en funktion. Vi antar att flödet är inkompressibelt and bortser från ytspänningseffekter. Vidare antar vi att flödet är inte är rotationsfritt, så att vorticiteten beskrivs av en given funktion som beror på värden av strömmningsfunktionen för flödet. Existensen av vorticitet ökar komplexiteten hos problemet och leder också till en större lösningsklass.Först studerar vi enkelriktade vågor med vorticitet och verifierar Benjamin-Lighthillkonjekturen för flöden vars Bernoullikonstant ligger nära den kritiska nivån. Av denna anledning visas att varje våg vars lutning är begränsad av en fix konstant är antingen en Stokesvåg eller en solitär våg. Hela mängden av dessa vågor kan på ett entydigt sätt parametriseras (upp till translationer) av flödeskraften som varierar mellan värden för superkritiska och subkritiska skjuvflöden på konstant djup. Vi studerar också enkelriktade vågor med hög amplitud där vi visar begränsningar för den fria ytprofilen och för Bernoullikonstanten.Sedan betraktar vi lågamplitudsvågor med motströmmar. Sådana flöden tillåter lager där vätskan flödar i olika...

Global Bifurcation and Highest Waves on Water of Finite Depth

“…Subcritical flows on the upper curve give rise to bifurcations of small-amplitude Stokes waves, while the lower curve represents supercritical streams, supporting solitary waves; see [34]. It was recently proved in [38] that all steady waves with vorticity correspond to points inside the cuspidal region (the Benjamin and Lighthill conjecture). It has long been known that not all points from the cusp represent steady waves; Benjamin and Lighhill conjectured that there must a third barrier (similar to the dashed line in the figure) corresponding to the highest waves.…”