Sobre as origens das definições dos produtos escalar e vetorial

Abstract

Nos livros-texto de física e de matemática utilizados em cursos básicos universitários, as operações de multiplicação de dois vetores (produtos escalar e vetorial) são introduzidas apenas como definições, sem nenhuma referência ou discussão a respeito das razões formais e/ou motivações que levaram ao estabelecimento de tais estruturas. Neste trabalho, apresentamos uma breve revisão didática sobre as origens dessas definições, discutindo os resultados pertinentes, formais, estabelecidos por Hamilton no contexto da álgebra de quatérnions e certas "adaptações" feitas por Gibbs e Heaviside, as quais deram origem ao ramo da matemática que hoje é popularmente conhecido como "álgebra vetorial". Comentamos algumas desvantagens decorrentes dessas "adaptações", fazendo referência a outros sistemas algébricos práticos e formalmente bem fundamentados (álgebras de Grassmann e Clifford). Indicamos e comentamos alguns artigos e trabalhos, básicos e também recentes, nos quais o assunto pode ser aprofundado.

Conceitos básicos sobre a difração e a dispersão de ondas eletromagnéticas

“…Embora uma análise detalhada da constante dielétrica ε c dependa dos conhecimentos de Mecânica Quântica, existe um modelo clássico para descrevê-la, denominado Modelo de Lorentz, bastante conhecido na literatura e já discutido na Ref. [7]. Considerando um material formado por um conjunto de osciladores harmônicos independentes, que correspondem aosátomos e/ou moléculas modelados a partir de pequenos sistemas massa-mola com amortecimento e submetidosà ação do campo eletromagnético de uma onda no limite de baixas velocidades,é possível obter a expressão…”

“…A parte imaginária da constante dielétrica dos materiais está associadaà absorção e a causalidade implica as relações de Kramers-Kronig, que fogem ao escopo do presente trabalho mas que são discutidas na Ref. [7]. Os meios condutores se caracterizam por elétrons quase livres, o que corresponde a ω r → 0 e geralmente satisfazem a condição ν >> ω para frequências abaixo do ultra-violeta, o que nos dá…”

“…Vários são os exemplos de aplicações das ondas eletromagnéticas: i) a transmissão de energia/informação em sistemas de comunicação, realizada através de propagação não guiada ou sem-fio (telefonia celular, difusão de rádio e TV) ou propagação guiada (sistemasópticos baseados em fibraóptica, linhas de transmissão); ii) a utilização em medicina e biologia, onde são amplamente empregados atualmente os lasers oftalmológicos e aplicação de radiação eletromagnética para tratamento de tumores, aquecimento de tecidos, manipulação de partículas e moléculas através de pinçasópticas; iii) em radioastronomia, telemetria, sistemas de GPS, metrologia e sistemas de radar. Dois fenômenos fundamentais de naturezas distintas na compreensão da propagação de ondas eletromagnéticas são a dispersão e difração de ondas, normalmente abordados de maneira superficial ou até mesmo omitidos em um curso introdutório de eletromagnetismo, de tal forma que poucos estudantes realmente conseguem compreender a diferença entre os mesmos, embora haja uma vasta literatura tratando do tema [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12].…”

Hybrid Quaternions of Leonardo

“…Quaternions were developed by Willian Rowan Hamilton (1805-1865). In the paper [19], the author says that the quaternions arise from the attempt to generalize complex numbers in the form z = a + bi in three dimensions. In [9], the author state that quatenions are hypercomplex numbers, they are studied in abstract algebra and priori, there are two quaternionic structures: the quaternions over R, having real components, and the biquaternions over the C, having complex components.…”

A Sutileza dos Quatérnions no Movimento de Rotação de Corpos Rígidos

“…Tanto que passou o resto de sua vida escrevendo e divulgando sobre os quatérnions, a que ele se referia como uma linguagem matemática universal para descrever fenômenos físicos diversos [14,15]. Infelizmente, no final do século XIX, o americano Gibbs e o inglês Heaviside popularizaram uma notação e "álgebra" de uma vertente, podendo ser entendida hoje como uma "versão simplificada" de quatérnions, separando o produto de dois quatérnions em duas operações separadas conhecidas hoje como produto vetorial, com o símbolo ×; e produto escalar, com o símbolo ⋅, na notação de Gibbs [16,17]. Apesar de debates ferrenhos naépoca, aálgebra de quatérnions foi deixada no segundo plano e a "álgebra vetorial" de Gibbs, mesmo que com certos problemas e limitações, foi popularizada rapidamente, em especial devido a inúmeros livros didáticos escritos no início do século XX.…”