Solução direta para um problema inverso de autovalores e autovetores de segunda ordem

Abstract

Resumo: Este trabalho apresenta uma estratégia de solução, que testes computacionais têm mostrado dar bons resultados, para o problema inverso de autovalores de sistemas de vibração lineares de segunda ordem, ondeé desejado atualizar as matrizes de massa, amortecimento e rigidez a partir de medições de parte das frequências naturais e respectivos modos de vibração. A estratégia emprega resultados sobre ortogonalidade envolvendo o espectro de sistemas de vibração lineares de segunda ordem; além disso, o ajuste de modelo propostoé um método direto que possibilita um excelente desempenho computacional por ser rico em operações com blocos de matrizes. Exemplo numéricoé apresentado.Palavras-chave: ajuste de modelo, autovalores, segunda ordem IntroduçãoSistemas de vibração governados por equações diferenciais lineares de segunda ordem podem ser descritos, usando variáveis de estado, pelo sistema de equações diferenciaisonde M, C, K ∈ R n×n são chamadas, respectivamente, de matrizes de inércia, de amortecimento e de rigidez. As matrizes M e K são simétricas, Mé normalmente positiva definida, enquanto Ké normalmente simétrica semi-definida. Cé uma matriz simétrica. Quantidades q eq são as variáveis de estado do sistema. A quantidade f (t) representa a ação de forças externas sobre o sistema no tempo t. Matematicamente, a existência de soluções vibratórias, istoé, da forma q i (t) = x i e λ i t , x i ∈ R n não-nulo, requer que (λ i , x i ), x i = 0, seja solução deonde λ = λ ié chamado de autovalor e x = x ié um autovetor associado a λ i ; essas quantidades estão associadas as frequências naturais e aos respectivos modos de vibração do sistema em (1). Muito frequentemente, a representação (M, C, K) de um sistema de vibraçõesé obtida através do método de elementos finitos. Nesse contexto, normalmente algumas simplificações de modelagem precisam ser feitas, tanto nas equações de cada elemento da discretização, quanto nas suas condições de contorno. Como consequência, pode haver divergências entre propriedades previstas pela representação analítica construída, que aqui chamaremos de (M a , C a , K a ) e propriedades reais do sistema.Uma estratégia que foi primeiramente empregada no caso de sistemas de vibração não-amortecidos (C a = C u = 0), cujas equações governantes são redutíveis as de primeira ordem