Some binomial series obtained by the WZ-method

Abstract

Using the WZ-method we find some of the easiest Ramanujan's formulae and also some new interesting Ramanujan-like sums.

Арифметические Гипергеометрические Ряды

“…Обобщения этих формул (на случай пяти символов Похгаммера в числителе и n! 5 в знаменателе) были обнаружены лишь недавно Х. Гиллерой [65]- [68], а также Г. Алмквистом и Х. Гиллерой [2]. Известно одиннадцать представ-лений последнего типа, из которых строго доказаны лишь четыре (с исполь-зованием гипергеометрических алгоритмов), в то время как остальные семь -такие, как …”

“…По этому вопросу мы рекомендуем читателю ознакомиться с монографией [30] и недавно опубликованными обзорами [16], [181]. В от-ношении данных формул примечательным является не только явное присут-ствие гипергеометрического ряда в левой части, но также наличие чисто ги-пергеометрического аппарата [51], [65], [67], позволяющего доказывать неко-торые из таких представлений. В роли этого инструмента выступает теория Уилфа-Цайльбергера (WZ-теория) [105], [149] имеющая в своем арсенале ал-горитм созидательного телескопирования.…”

“…Даже несмотря на то, что такой подход не позволяет покрыть все многообразие представлений для 1/π (хотя алгебраические преобразования, схожие с рассмотренными в теореме 7, суще-ственно расширяют применимость данного подхода), метод не перестает радо-вать неожиданными приятными сюрпризами. Х. Гиллера [65]- [68] смог при-менить WZ-теорию для доказательств новых обобщений рядов рамануджанова типа; именно,…”

Computer-Assisted Discovery and Proof

“…In some recent papers, J. Guillera has exhibited several new Ramanujan-style series formulas for reciprocal powers of π, including the following [31,33,32]:…”

Eisenstein series and Ramanujan-type series for 1/π

“…Further particular series representations for 1/π as well as some general formulas have subsequently been derived by Berndt and H. H. Chan [10], Berndt, Chan, and W.-C. Liaw [11], H. H. Chan, S. H. Chan, and Z. Liu [20], H. H. Chan and Liaw [21], H. H. Chan and K. P. Loo [23], H. H. Chan, Liaw, and V. Tan [22], and H. H. Chan and H. Verrill [24]. J. Guillera [29]- [33] discovered some beautiful series for 1/π as well as for 1/π 2 . Further work has been accomplished by W. Zudilin [41]- [43].…”