Some properties of eigenvalues and eigenfunctions of the cubic oscillator with imaginary coupling constant

Mezincescu, G. A.

doi:10.1088/0305-4470/33/27/308

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“…Geometrical optics (ray tracing) is sufficient to reproduce the gamma-function and exponential behaviors in (8). We simply evaluate the approximate WKB integral…”

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Quantum complex Hénon–Heiles potentials

et al. 2001

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Quantum-mechanical PT -symmetric theories associated with complex cubic potentials such as V = x 2 + y 2 + igxy 2 and V = x 2 + y 2 + z 2 + igxyz, where g is a real parameter, are investigated. These theories appear to possess real, positive spectra. Low-lying energy levels are calculated to very high order in perturbation theory. The large-order behavior of the perturbation coefficients is determined using multidimensional WKB tunneling techniques.This approach is also applied to the complex Hénon-Heiles potential V = x 2 + y 2 + ig(xy 2 − 1 3 x 3 ).

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“…Geometrical optics (ray tracing) is sufficient to reproduce the gamma-function and exponential behaviors in (8). We simply evaluate the approximate WKB integral…”

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“…This procedure gives the behavior in (8) apart from an overall multiplicative constant. This constant can only be determined by performing a physical-optics calculation of the tunneling rate.…”

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Quantum complex Hénon–Heiles potentials

et al. 2001

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“…Essa relação nada intuitiva foi testada numericamente e analiticamente [12,13] para uma certa classe de teorias desenvolvidas na Ref. [14], todavia, uma prova matemática da mesma pode ser encontrada na Ref.…”

Section: Completezaunclassified

“…Uma maneira intuitiva de entender o que ocorreé lembrar do operador de evolução temporal U descrito pela Eq. (12). Aplicar uma transformação de reversão temporal (t → −t) neste operadoré equivalente a apenas conjugá-lo,…”

Section: Operador T : Reversão Temporalunclassified

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Equivalência entre a mecânica quântica e a mecânica quântica PT simétrica

Girardelli¹,

Zavanin²,

Guzzo³

2015

Rev. Bras. Ens. Fis.

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Este artigo traz uma discussão a respeito da mecânica quântica PT simétrica, desenvolvendo alguns elementos básicos dessa teoria. Em um caso simples de sistema de dois níveis, desenvolvemos o problema da braquistócrona quântica. Comparando os resultados obtidos entre a mecânica quântica PT simétrica e aqueles obtidos usando o formalismo padrão, conclui-se que a nova abordagem nãoé capaz de revelar nenhum fenômeno novo. Palavras-chave: simetria PT, braquistócrona quântica, mecânica quântica não hermitiana.In this paper we develop a discussion about PT symmetric quantum mechanics, working with the basic elements of this theory. In a simple case of a two-body system, we developed the quantum brachistochrone problem. Comparing the results obtained through the PT symmetric quantum mechanics with the ones obtained using the standard formalism, we conclude that this new approach is not able to reveal any new effect. Keywords: PT symmetry, quantum brachistochrone, non-hermitian quantum mechanics. IntroduçãóE comum em mecânica quântica definirmos a hamiltoniana que descreve a evolução temporal dos estados de maneira hermitiana (H = H † ). Esta imposição garante que os autovalores correspondentes a H e, portanto, os níveis de energia dos sistema, sejam reais. Tal imposição garante a evolução unitária do sistema que, por sua vez, implica que as probabilidades derivadas dessa hamiltoniana sejam preservadas.No entanto, apesar da condição de hermiticidade ser uma condição suficiente para se obter autovalores reais, ela nãoé necessária.É possível construir uma teoria quântica com hamiltonianas que, apesar de não serem hermitianas, possuam autovalores reais, provendo uma evolução unitária para o sistema.O estudo desse tipo de hamiltonianas começou em 1998 com Bender e Boetcher [1], que propuseram a substituição da condição de hermiticidade por uma condição análoga, chamada de simetria PT, P T H(P T ) −1 = H, (neste contexto P se refere ao operador paridade enquanto T se refere ao operador reflexão temporal) que garantia que os níveis de energia do sistema se mantivessem reais. Após a publicação deste artigo seminal, outros relacionados a este tema foram desenvolvidos, estudando uma série de diferentes hamiltonianas com o intuito de encontrar peculiaridades na mecânica quântica PT simétrica, que possivelmente explicariam fenômenos físicos ainda não entendidos [1][2][3][4][5][6][7]. Na Ref.[8], Mostafazadeh generalizou o conceito de simetria PT, encontrando relações gerais nas quais matrizes não hermitianas possuíssem autovalores reais, definindo isso como pseudo hermiticidade.No presente artigo, vamos desenvolver elementos da mecânica quântica PT simétrica, obtendo operadores básicos para essa teoria. Além disso, vamos analisar a Braquistócrona Quântica sob o ponto de vista da mecânica quântica usual e da PT simétrica [9][10][11]. Através dessa análise, podemos ser induzidos a acreditar em comportamentos anômalos, que geram transições infinitamente rápidas entre estados quânticos [11], vamos entender esse fenômeno e identificar ...

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The ODE/IM Correspondence and PT-Symmetric Quantum Mechanics

Dorey

Dunning

Tateo

2002

Statistical Field Theories

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A connection between integrable quantum field theory and the spectral theory of ordinary differential equations is reviewed, with particular emphasis being given to its relevance to certain problems in PT-symmetric quantum mechanics. Keywords: Ordinary differential equations; the Bethe ansatz; conformal field theory; spectral problems; quantum mechanics; PT symmetry IntroductionThis talk concerned a recently-discovered relationship between a particular class of integrable models and the spectral theory of ordinary differential equations in complex domain, a link which is sometimes referred to as the 'ODE/IM correspondence'. We recently reviewed many aspects of this in [1] (see also [2]), and a more extended version of [1] is currently in preparation. Therefore in this contribution we shall content ourselves with a quick sketch of some of the main features of the story, updating [1] as we go along with some references to more recent developments.Two previously-distinct areas of investigation form the backdrop to this work. On the one hand, there is the theory of integrable lattice models and integrable quantum field theories, in particular as extensively developed by Baxter [3] and then Klümper, Pearce and collaborators [4,5] on the lattice side, and by Bazhanov, Lukyanov and Zamolodchikov [6,7,8] on the integrable quantum field theory side. On the other, there is an approach to the theory of ordinary differential equations via functional relations, pioneered by Sibuya [9] and 1

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Some properties of eigenvalues and eigenfunctions of the cubic oscillator with imaginary coupling constant

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Quantum complex Hénon–Heiles potentials

Quantum complex Hénon–Heiles potentials

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