Some remarks on the generalization of orthogonality in terms of operators

Abstract

This paper deals with a generalization of orthogonality in terms of bounded linear operators on a Banach space. The goal is to find a relation between orthogonality of images and orthogonality of elements. We prove that if the images of a bounded linear operator are orthogonal in the Pythagorean sense, then the elements are orthogonal in the sense of Birkhoff's definition. In the case of Robert's orthogonality in terms of bounded linear operators under the restriction that any element belongs to the intersection of the norm attainment set of T 1 + \lambda T 2 and T 1 -\lambda T 2 , if the images are orthogonal, then it implies that the operators are also orthogonal. Furthermore, some results in relation to the Carlsson, isosceles, and approximate Birkhoff-James orthogonality have been obtained. У цiй роботi розглядяється узагальнення ортогональностi в термiнах обмежених лiнiйних операторiв на банаховому просторi. Метою роботи є знайти спiввiдношення мiж ортогональнiстю зображень i ортогональнiстю елементiв. Доведено, що якщо образи обмеженого лiнiйного оператора ортогональнi в пiфагоровому сенсi, то елементи є ортогональний у сенсi визначення Бiркгофа. У випадку ортогональностi Роберта в термiнах обмежених лiнiйних операторiв iз умовою, що будь-який елемент належить до перетину множин де оператори T 1 + \lambda T 2 i T 1 -\lambda T 2 досягають норми, з ортогональностi образiв випливає, що оператори є також ортогональнi. Також отримано деякi результати про ортогональнiсть в сенсi Карлссона, рiвнобiчної ортогональностi та наближеної ортогональностi в сенсi Бiркгофа-Джеймса.