Spectral pictures of 2-variable weighted shifts

Abstract

We study the spectral pictures of (jointly) hyponormal 2-variable weighted shifts with commuting subnormal components. By contrast with all known results in the theory of subnormal single and 2-variable weighted shifts, we show that the Taylor essential spectrum can be disconnected. We do this by obtaining a simple sufficient condition that guarantees disconnectedness, based on the norms of the horizontal slices of the shift. We also show that for every k ≥ 1 there exists a k-hyponormal 2-variable weighted shift whose horizontal and vertical slices have 1-or 2-atomic Berger measures, and whose Taylor essential spectrum is disconnected. RésuméLes images spectrales de shifts pondérésà 2-variables. Nousétudions les images spectrales de shifts pondérésà deux variables et (conjointement) hyponormaux possédant des composants commutants sousnormaux.À la différence de tous les résultats connus dans la théorie des shifts pondérés simples sousnormauxà deux variables, nous démontrons que le spectre essentiel de Taylor peutêtre déconnecté. Nous faisons cela en obtenant une condition suffisante simple qui garantit le caractère déconnecté de ce spectre, basée sur les normes des sections horizontales du shift. Nous montronségalement que pour chaque k ≥ 1 il existe un shift pondéré k-hyponormalà deux variables dont le spectre essentiel de Taylor est déconnecté. Pour citer cet article : A. Name1, A. Name2, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005). [6]. La présence de la mesure de Bergerétait essentielle dans l'étude du comportement asymptotique des suites de poids, et a menéà des résultats concrets sur les diverses parties du spectre de Taylor. Pour les shifts pondérés hyponormauxà 2-variables T ∈ H 0 , pourtant, l'étude des propriétés spectrales exige des techniques indépendantes, puisque aucune mesure de Berger n'est présente. Dans ce qui suit, nous présentons nombre de résultats qui mettent en relief les différences profondes entre le cas en une variable et celui en deux variables. Dans le Théorème 2.2 nous exhibons, pour la première fois, une condition suffisante qui garantit le caractère déconnecté du spectre essentiel de Taylor, notamment, W α (1) < W α (0) , où W α (j) dénote le j-ème niveau horizontal de T 1 ; dans l'Exemple 2.4 nous montrons que cette condition peutêtre présente même dans les paires hyponormales avec des sections W α (j) (j ≥ 1) mutuellement absolument continues. Nous améliorons ce résultat en montrant dans le Théorème 2.6 qu'il est possible de former davantage de composantes connexes du spectre essentiel de Taylor, tout en préservant son caractère hyponormal, si nous utilisons des shifts pondérés de type Bergman dans chaque niveau horizontal de T 1 . Ce fait est tout-à-faitétonnant,à la lumière des résultats bien connus sur les shifts pondérés en une variable. Au cours de notre analyse, nous démontrons que pour les shifts pondérés sousnormaux en deux variables, les mesures de Berger des sections 2 horizontales {W α (j) } ∞ j=1 sont toutes mutuellement absolument continues et, par conséquent...

Multishifts on directed Cartesian products of rooted directed trees

“…We conclude this section with a recipe to construct non-compact multishifts S λ on T having Taylor spectra with empty interior. One such family of classical multishifts has been exhibited in [49,Example 2]. We now capitalize on it to construct examples of multishifts S λ on T 2,0 × T 2,0 with Taylor spectra of empty interior.…”

Spherical tuples of Hilbert space operators

“…If in addition, T is a multi-shift, then this always happens as seen above. In view of this, it is interesting to note that there exists a jointly hyponormal 2-shift with disconnected essential spectrum [17,Theorem 2.5].…”

Schur product techniques for commuting multivariable weighted shifts

“…The class in Theorem 2. 8 contains the examples in [10,Section 5], [11,Corollary 4.7 and Proposition 4.10], [12,Remark 3.5], [13,Theorem 3.10] and [20,Example 2.12]. Finally, in Section 3, we give a complete characterization of hyponormality and subnormality in the class FC of flat, contractive 2-variable weighted shifts T ∈ H 0 with the condition W β = b, where b > 0 is given (see Fig.…”