Suites de Poitou-Tate pour les complexes de tores à deux termes

Abstract

On considère un complexe de tores de longueur 2 défini sur un corps de nombres k. On établit des résultats de dualité locale et globale pour l'hypercohomologie (étale ou galoisienne) de ce complexe. On obtient notamment une suite de Poitou-Tate pour de tels complexes, généralisant les suites de Poitou-Tate pour les modules galoisiens finis ou les tores. Les résultats généraux obtenus ici pour les complexes de tores constituent l'ingrédient essentiel dans des résultats récents de l'auteur sur l'approximation forte dans les groupes linéaires connexes et sur des théorèmes de dualité sur la cohomologie galoisienne (non-abélienne) de tels groupes.

Le défaut d'approximation forte dans les groupes linéaires connexes

“…On renvoie à [12] pour les généralités sur l'hypercohomologie des complexes de tores, et notamment pour la définition de la topologie sur les groupes H 0 (k v , C). On rappelle néanmoins les résultats principaux de [12] que l'on utilise dans cette section, et qui sont cruciaux en vue des résultats résumés dans l'introduction.…”

“…Dans [12], on utilise ces réalisations n-adiques pour montrer des théorèmes de dualité locale et globale. L'un des résultats principaux de [12] est la suite de Poitou-Tate suivante, que l'on utilise dans la suite de ce texte (voir théorème 6.1 de [12]) :…”

“…On sait que le conoyau du morphisme g est fini : en effet, via la suite exacte de Poitou-Tate pour T 1 (voir [20], théorème 5.6 ou [12], théorème 6.1), on sait que le conoyau de g :…”

“…Les preuves de ces résultats reposent sur les théorèmes de dualité pour l'hypercohomologie des complexes de tores de longueur 2 obtenus dans [12]. On déduit également de ces théorèmes de dualité une version de la suite de Poitou-Tate, pour la cohomologie (non abélienne) d'un groupe linéaire connexe, qui prolonge la suite exacte de Kottwitz-Borovoi (voir [5], théorème 5.15).…”

“…Le plan de ce texte est le suivant : on montre d'abord à la section 2 un résultat concernant l'approximation forte pour les complexes de tores à l'aide des théorèmes de dualité de [12]. Puis grâce aux techniques d'abélianisation de Borovoi, et à l'aide du théorème d'approximation forte, on décrit le défaut d'approximation forte pour les groupes réductifs dans le cas non compact, en termes d'obstruction de Brauer-Manin (voir section 3.2).…”