Supersymmetry and quantum mechanics

Abstract

In the past ten years, the ideas of supersymmetry have been profitably applied to many nonrelativistic quantum mechanical problems. In particular, there is now a m uch deeper understanding of why certain potentials are analytically solvable and an array o f p o w erful new approximation methods for handling potentials which are not exactly solvable. In this report, we review the theoretical formulation of supersymmetric quantum mechanics and discuss many applications. Exactly solvable potentials can be understood in terms of a few basic ideas which include supersymmetric partner potentials, shape invariance and operator transformations. Familiar solvable potentials all 1 have the property of shape invariance. We describe new exactly solvable shape invariant potentials which include the recently discovered self-similar potentials as a special case. The connection between inverse scattering, isospectral potentials and supersymmetric quantum mechanics is discussed and multi-soliton solutions of the KdV equation are constructed. Approximation methods are also discussed within the framework of supersymmetric quantum mechanics and in particular it is shown that a supersymmetry inspired WKB approximation is exact for a class of shape invariant potentials. Supersymmetry ideas give particularly nice results for the tunneling rate in a double well potential and for improving large N expansions. We also discuss the problem of a charged Dirac particle in an external magnetic eld and other potentials in terms of supersymmetric quantum mechanics. Finally, w e discuss structures more general than supersymmetric quantum mechanics such as parasupersymmetric quantum mechanics in which there is a symmetry between a boson and a para-fermion of order p.

Relativistic supersymmetric quantum mechanics based on Klein–Gordon equation

“…(3), say, with a nontrivial model interaction based on a "minimal" replacement of the constant m 2 0 by its coordinate-dependent, "scalar" potential or "local effective-mass" generalization m 2 (x) = m 2 0 + V (x). In what follows we intended to develop a most natural Klein-Gordon generalization of the Witten's supersymmetric quantum mechanics (SUSY QM, [15,16]). For the time being let us choose just the trivial partitions G = I in eq.…”

Решения Родригеса Уравнения Дирака Для Форминвариантных Потенциалов: Подход На Основе Мастер-Функции

“…где в концепции суперсимметрии в нерелятивистской квантовой механике [1], [2] функция ω(r) называется суперпотенциалом, а V 1 (r) и V 2 (r) -потенциалами-парт-нерами. Более того, если потенциалы-партнеры имеют одинаковую форму и раз-личаются лишь параметрами, то говорят, что…”

“…Также из остатка R(a 1 ) можно получить спектр собственных значений форминвариантных потенциалов [1]. В работе [8] c использованием формализма мастер-функции было показано, что оператор линейного дифференциального уравнения второго порядка общего вида и связанного с ним дифференциального уравнения математической физики мож-но представить в виде произведения операторов первого порядка, причем волновые функции соответствующих дифференциальных уравнений выражаются через мно-гочлены Родригеса.…”

“…Кроме того, из соотношения (16) понятно, что E(n, m) обращается в нуль при m = n + 1, поэтому, решая дифферен-циальное уравнение первого порядка B + (n + 1)φ n,n (r) = 0, можно найти старшее состояние φ n,n (r). Алгебраическое решение уравнения (15) можно получить, после-довательно действуя понижающим оператором на старшие состояния [1]. Теперь, сравнивая дифференциальное уравнение (8), которое выводится из урав-нения Дирака, с дифференциальным уравнением (15), мы видим, что уравнение (8) можно переписать с помощью произведения повышающих и понижающих операто-ров (17), задаваемых суперпотенциалом.…”

“…В последнее время идеи суперсимметрии и форминвариантности [1], [2] при-влекли внимание исследователей и использовались в качестве алгебраических ме-тодов решения большого числа задач с нерелятивистскими форминвариантными потенциалами [3]. Решения уравнения Дирака с такими физическими потенциала-ми, как кулоновский потенциал [4], потенциал Морзе [5], потенциал гармоническо-го осциллятора [6] и т.д., также рассматривались как релятивистские обобщения этих потенциалов.…”