Sur la conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

Abstract

International audienceWe prove Manin's conjecture, in the strong form conjectured by Peyre, for Châtelet surfaces associated to surfaces of the type y^2 + z^2 = P (x, 1), where P is a binary quartic form with integer coefficients that is either irreducible over Q[i] or the product of two quadratic forms with integer coefficients and irreducible over Q[i]. Moreover, we provide an explicit upper bound for the remainder term in the relevant asymptotic formula. This essentially settles Manin's conjecture for all Châtelet surfaces. The proof rests on two new tools, namely upper bounds for mean values of local oscillations of characters on divisors and sharp upper estimates for mean values of arithmetic functions of binary forms. Pezzo surfaces of degree 4, count of lattice points over algebraic varieties, number of representations as a sum of two squares, method of descent.Nous démontrons , sous la forme forte conjecturée par Peyre, la conjecture de Manin pour les surfaces de Châtelet dont les équations sont du type y^2 + z^2 = P (x, 1), où P est une forme binaire quartique à coefficients entiers irréductible sur Q[i] ou produit de deux formes quadratiques à coefficients entiers irréductibles sur Q[i]. De plus, nous fournissons une estimation explicite du terme d'erreur de la formule asymptotique sous-jacente. Cela finalise essentiellement la validation de la conjecture de Manin pour l'ensemble des surfaces de Châtelet. La preuve s'appuie sur deux méthodes nouvelles, concernant, du part, les estimations en moyenne d'oscillations locales de caractères sur les diviseurs, et, d'autre part, les majorations de certaines fonctions arithmétiques de formes binaires. Mots clefs : Surfaces de Châtelet , conjecture de Manin, constante de Peyre, surfaces de del Pezzo de degré 4, comptage de points entiers sur des variétés algébriques , nombre de représentations comme somme de deux carrés , méthode de descente

La conjecture de Manin pour certaines surfaces de Châtelet

“…On peut alors constater qu'un changement de variables u = Ez (voir [5, section 6]) fait apparaître l'inverse de det(E) et ainsi, on peut intégrer plutôt sur la forme J définie par J(z) = F 3 (Ez) (voir [8]) et obtenir par exemple la majoration…”

“…D'après [15] et [16], l'obstruction de Brauer-Manin est la seule obstruction au principe de Hasse età l'approximation faible pour les surfaces de Châtelet et en particulier les surfaces considérées spécifiquement dans cet article ne satisfont pas nécessairement l'approximation faible mais satisfont le principe de Hasse. Il s'agit ici du troisième cas, après [7] et [8], pour lequel la conjecture de Manin dans sa forme forte conjecturée par Peyre dans [31, formule 5.1] estétablie par des méthodes de descente sur des torseurs pour une classe de variétés ne satisfaisant pas l'approximation faible.…”

“…Les travaux de La Bretèche, Browning et Peyre [7] utilisant l'approche par les torseurs versels (introduits par Colliot-Thélène et Sansuc dans [12], [13] et [14] et utilisés dans ce cadre pour la première fois par Salberger dans [34]) ont permis dans un premier temps d'établir la conjecture de Manin dans le cas de factorisations de type un produit de formes linéaires non proportionnelles [7], puis les travaux de La Bretèche et Browning [8].…”

“…Le théorème suivant améliore notamment la borne N(B) ≪ B log(B) obtenue par Browning dans [9]. Remarque: On peut se convaincre assez aisément que les méthodes développées ici permettraient de généraliser le résultatà tous les a < 0 mais au prix d'un certain nombre de complications techniques comme expliqué dans [8,Introduction]. Le cas a > 0 semble nécessiter une approche différente du fait du nombre infini d'unités du corps quadratique réel Q ( √ a).…”

“…On rappelle qu'on a l'expression r(n) = 4 d|n χ(d), où χ désigne le caractère de Dirichlet non principal modulo 4. La méthode pour estimer ces sommes est inspirée de l'article [5] où le même genre de sommes estétudiée mais pour la fonction τ nombre de diviseursà la place de la fonction r. Pour la vérification de la conjecture de Peyre, on s'inspire ici de [8] et de [7]. Cependant,à la différence du cas traité dans [7], onétablit que le traitement de la conjecture de Manin se fait au moyen d'un passage sur des torseurs distincts des torseurs versels dont on donne une description précise en section 7.…”