Sur le déploiement des formes bilinéaires en caractéristique 2

Abstract

This article deals with the standard splitting of bilinear forms in characteristic 2. The first part is devoted to the study of bilinear Pfister neighbors (the definition of such a bilinear form is slightly different from the classical definition of a Pfister neighbor quadratic form). In the second part, we introduce the degree invariant for bilinear forms and we prove that for any integer d ≥ 0, the d-th power of the ideal of even dimensional bilinear forms coincides with the set of bilinear forms of degree ≥ d (this is a positive answer to the analogue of the degree conjecture for quadratic forms).In the third part, we classify good bilinear forms of height 2, and we give information on the possible dimensions of bilinear forms of height 2 which are not necessarily good.

Differential forms and bilinear forms under field extensions

“…The quotients I n (F ) := I n (F )/I n+1 (F ) give rise to the graded Witt ring. The Arason-Pfister Hauptsatz states that if 0 = B ∈ I n (F ) is anisotropic then dim B 2 n , and if dim B = 2 n then B ∼ = λπ for some λ ∈ F * and some π ∈ BP n (F ), see, e.g., [L3,Lemma 4.8]. (This Hauptsatz for bilinear forms in characteristic 2 is already contained in the original article by Arason-Pfister [AP], but the proof there contains an error.…”

Les formes bilinéaires et quadratiques bonnes de hauteur 2 en caractéristique 2

“…La hauteur de B, qu'on note h(B), est le plus petit entier h tel que dim B h ≤ 1. La classification des formes bilinéaires de hauteur 1 a été donnée dans [19,Th. 4.1] et affirme ce qui suit: Une forme bilinéaire anisotrope B est de hauteur 1 si et seulement si il existe une forme bilinéaire de Pfister π = 1 b ⊥ π telle que B soit semblable à π ou π suivant que dim B est paire ou impaire (⊥ désigne la somme orthogonale).…”

“…Sinon, on dit que B est de degré 0. La forme B est dite bonne lorsque la forme π est définissable sur F. Dans ce cas, on sait que π est définie sur F par une forme bilinéaire de Pfister [19,Prop. 5.3].…”

“…La classification des formes bilinéaires bonnes de hauteur 2 et de degré 0 est donnée dans [19,Prop. 5.9].…”

“…5.9]. Dans [19,Th. 5.10], on a classifié les formes bilinéaires B qui sont bonnes de hauteur 2 et de degré d > 0, à l'exception du cas dim B = 2 k ≥ 2 d+2 .…”