Sur les algèbres nucléaires

Sur Les Algèbres Nucleáires Ii

“…Par la suite, on montrera que toute algèbre de la classe des algèbres altnucléairesà puissances associatives vérifiant le théorème 4.4 de [2] et semisimples se décompose comme somme directe d'idéaux simples, résultat analogueà celui des algèbres alternatives.…”

“…Sinon, I possède unélément idempotent principal e. En effet, si I n'est pas un idéalàélément unité, l'assertion est une conséquence de la proposition 3.3 de [4] et du théorème 3.1 de [2]. Soient U = L i,j U ij et I = L i,j I ij (i, j = 0, 1) les décompositions de Peirce de U et I, respectivement, relativesà l'idempotent e. C'estévident que I ij = I ∩ U ij (i, j = 0, 1).…”

“…D'après les hypothèses du théorème et la proposition 3.3 de [4], B possède un idempotent f. Si l'idempotent f n'est pas l'élément unité de B, d'après le lemme 1.1 et le théorème 4.8 de [2], B possède unélément unité g. Par conséquent, B = Ug = gU et l'idempotent g est dans le centre de U. En effet, quels que soient leséléments x, y dans U on a (xg)y = (g(xg))y = g(x(gy)) = x(gy), d'après le lemme 1.2.…”

“…En effet, quels que soient leséléments x, y dans U on a (xg)y = (g(xg))y = g(x(gy)) = x(gy), d'après le lemme 1.2. Donc, (g, x, y) = (x, g, y) = (x, y, g) = 0, d'après le lemme 2.2 de [2]. D'autre part, on a aussi xg = g(xg) = (gx)g = gx, c'esta-dire, [x, g] = 0 donc g est dans le centre de U. Réciproquement, pour tout elément g dans le centre de U, le sous-espace vectoriel B = Ug est un idéal.…”

“…Observons que B et D sont des idéaux semi-simples orthogonaux et que tout idéal I de B (ou de D) est aussi un idéal de l'algèbre U. Ainsi, si B n'est pas un idéal simple, B possède un idéal I (6 = {0}, B) donc B est une F -algèbre alt-nucléaire qui vérifie les conditions du théorème 4.4 de [2]. Ceci montre que,à partir des hypothèses du théorème et de ce que l'on a vu ci-dessus, cette décomposition peut se répéter.…”