Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes

Abstract

Les travaux de J. Tits ont conduit à la classification complète des immeubles euclidiens de dimension supérieure ou égale à 3. L'ensemble de ces immeubles à isomorphisme près est dénombrable et paramétré par les corps locaux qui leur correspondent. Dans cet article nous nous intéressons aux immeubles triangulaires, qui sont euclidiens de dimension 2 et pour lesquelles une paramétrisation analogue est impossible. Nous construisons une lamination sur un espace topologique localement compact séparé, dont l'espace des feuilles est l'ensemble des immeubles triangulaires à isomorphisme près. On considère ainsi les immeubles triangulaires comme points d'un espace dont est une désingularisation naturelle. Nous établissons des résultats de chirurgie sur les immeubles triangulaires à données locales fixées. Ils entraînent par exemple que est topologiquement transitive. Nous montrons qu'un immeuble triangulaire générique au sens de Baire a un groupe d'automorphismes trivial et qu'il contient toutes les géométries locales possibles. L'espace des immeubles triangulaires à isomorphisme près est un nouvel exemple d'espace non commutatif.

The 4-string braid group $B_4$ has property RD and exponential mesoscopic rank

“…[34]; triangle buildings are also called affine Bruhat-Tits buildings of typeà 2 ). By [2] there are uncountably many such buildings, and their groups of automorphisms is generically trivial (generic is taken here in the sense of Baire with respect to some appropriate topology). In view of the above embedding L → L 2 , it is natural to ask whether the complex X itself can be simplicially embedded into one of these triangle buildings.…”

Existence d’immeubles triangulaires quasi-périodiques

“…Il comprend notamment: -les immeubles classiques, constituant une partie dénombrable (voir [22,23]), -les immeubles dits «exotiques», donnant des feuilles compactes de q (voir [5,27]), -les immeubles sans automorphismes, dont la plupart sont des feuilles denses de q (voir [6]), -les immeubles quasi-périodiques, qui correspondent aux sous-espaces feuilletés minimaux.…”

“…Dans tout l'article on suppose q de la forme q = p n , où p 2 est un nombre premier, avec q = 3 et q = 4. Cet article fait suite à [6]. On désigne par E l'ensemble des immeubles triangulaires à isomorphisme près et l'espace topologique séparé des immeubles triangulaires pointés à isomorphisme pointé près.…”

“…On note E q la partie de E constituée des immeubles d'ordre q et q la sous-lamination correspondante de . Une fois le cadre général et l'approche fixés, les démonstrations données ci-dessous sont relativement indépendantes de [6], dont nous utiliserons ici essentiellement la partie 4 (décrivant l'espace des immeubles triangulaires) et occasionnellement le théorème 2.…”

“…Nous renvoyons à [6] pour des détails et des références (en particulier [5,19,21,27]). Dans le présent article nous contruisons des immeubles plus généraux que nous appelons quasi-périodiques.…”